Материал: Алгебра_кортежей

Таким образом, во всех кортежах различные атрибуты принимают одинаковые значения истинности, что свидетельствует о равносильности утверждений А, В, С.

Другими словами, при выводе следствий оказывается, что термины "известное", "существующее" и "подтверждающееся экспериментом" связаны циклом, что означает их эквивалентность. Но, по крайней мере, относительно "известного" и "существующего" это неверно (коллизия неадекватности), поэтому посылки требуют пересмотра.

В логических системах, выходящих за рамки силлогистики, коллизии могут моделировать следующие ситуации:

1)"вырождение" знаний – знание оказывается тождественно ложным при вводе новых знаний (в АК эта ситуация распознается как равенство знания пустому множеству, в логике данная ситуация соответствует правилу ДунсаСкотта "из лжи можно вывести все, что угодно");

2)"вырождение" атрибутов (при вводе новых знаний из некоторых атрибутов исчезают элементы, без которых существование моделируемой системы невозможно). Другими словами, при проверке оказывается, что некоторые значимые атрибуты или их значения равны пустому множеству;

3)при вводе новых знаний некоторые различные атрибуты становятся тождественными по составу элементов, что противоречит семантике системы;

4)несоответствие полученных результатов с трудноформализуемыми ограничениями, описанными в постановке задачи. Например, в моделируемой системе могут быть заданы ограничения в виде отношений, которые не должны быть в следствиях. Если эти ограничения вводить в начальные условия как дополнения запрещенных отношений, то система может существенно усложниться. Иногда проще производить отбраковку результатов с помощью их сопоставления с запрещенными отношениями.

5)иногда коллизией можно считать ситуации, которые используются для обоснования правомерности применения немонотонных логик. Например [Тейз, 1990], если известно, что 1) "все птицы летают" и 2) "страус Тити птица, но не летает", то для разрешения этой ситуации совсем не обязательно вводить неклассическую логику. Достаточно зафиксировать в этом рассуждении коллизию и произвести корректировку посылок, не нарушая принципов

145

классической логики.

Трудно предусмотреть заранее все возможные разновидности коллизий – в некоторых системах они могут быть уникальными. Предложим следующее краткое определение коллизий.

Коллизии – это ситуации, которые возникают в модифицируемых рассуждениях при вводе новых знаний (гипотез) и распознаются как нарушение некоторых формально выраженных правил или ограничений, регулирующих целостность или смысловое содержание системы.

Здесь будут рассматриваться две наиболее распространенные задачи анализа модифицируемых рассуждений:

1)формирование и проверка корректности гипотез;

2)поиск абдуктивных заключений.

4.3.2. Анализ гипотез

В терминах АК можно дать формальное определение гипотез. Пусть задана система посылок A1, …, An, представленных как АК-объекты, и вычислен АК-объект A = A1 G … G An.

Формула H называется гипотезой, если неверно, что A G H. В противном случае в соответствии с (4.1) H есть следствие. Значит, H в первом приближении можно считать гипотезой, если A \G H .

Во втором приближении устанавливается корректность гипотезы. Гипотеза корректна, если объект H G A не содержит коллизий (здесь предполагается, что гипотеза играет роль аксиомы или посылки). Рассмотрим пример.

Пример 4.6. В занимательной книге известного логика Раймонда Смаллиана [Смаллиан, 1986] есть серия задач об узнике, который должен был, используя определенные подсказки, определить, в какой из комнат находится принцесса, и открыть эту комнату. Сложность заключалась в том, что, по крайней мере, в одной из комнат находился тигр, встреча с которым для узника была явно нежелательна. В то же время встреча с принцессой сулила узнику не только освобождение, но и возможность жениться на принцессе. Задачи, которая приведена в этом примере, в книге Р. Смаллиана нет, но ситуация аналогичная.

146

Перед узником три комнаты. В одной из них находится тигр, в другой – принцесса, а третья комната пуста. Узнику даны две подсказки, причем одна из них истинная, а другая ложная, но какая именно – неизвестно.

Подсказка 1: во второй комнате нет тигра, а третья комната не пуста. Подсказка 2: первая комната не пуста, а во второй нет тигра. Выразим подсказки в виде C-кортежей. Для этого введем обозначения:

Гипотеза 1: M1 – истинно; M2 – ложно;

Гипотеза 2: M1 – ложно; M2 – истинно.

Рассмотрим первую из них. Эта ситуация может быть описана с помощью

Положение несколько упростилась. Если вычислить декартово произведение {E} {P, E} {P, T}, то окажется, что из четырех полученных элементарных кортежей только один – (E, P, T) – удовлетворяет условию задачи (ситуацию, когда в разных комнатах находится один и тот же объект, можно считать коллизией). Следовательно, принцесса во второй комнате.

Теперь проверим вторую гипотезу.

Здесь условиям задачи удовлетворяет элементарный кортеж (T, P, E), который хоть и отличается от полученного ранее, но оставляет неизменным местонахождение принцессы. Таким образом, обе гипотезы приводят к одному результату: принцесса находится во второй комнате.

Пример 4.7. Та же ситуация с узником и принцессой, но условия другие. Узнику предложен выбор из трех комнат, в одной из которых находилась принцесса, в другой – тигр, а третья – пуста, причем надпись на двери, где находилась принцесса, – истинна, на двери комнаты, где находился тигр – ложна, а надпись на двери пустой комнаты может быть истинной или ложной. Надписи таковы:

комната 1: Комната 3 пуста; комната 2: Тигр сидит в комнате 1; комната 3: Эта комната пуста. Где находится принцесса?

Обозначим эти надписи M1, M2, M3 и, используя уже введенные в

предыдущей задаче обозначения, выразим их в виде АК-объектов:

M1 = [ {E}]; M2 = [{T} ]; M3 = [ {E}].

Задачу можно решить разными способами. Здесь применим метод проверки гипотез. В качестве гипотез будем использовать оценки истинности надписей на дверях трех комнат в виде битовой строки из трех символов (например, строка 110 означает, что надписи на дверях первых двух комнатах истинные, а на двери третьей – ложная). По условиям задачи допустимы далеко не все сочетания оценок, поскольку:

1)значения надписей на дверях первой и третьей комнат совпадают, поэтому они должны иметь одну и ту же оценку истинности;

2)среди трех оценок должны быть, по крайней мере, одна истинная оценка

иодна ложная, так как надписи на комнатах с принцессой и тигром имеют противоположные истинностные оценки.

С учетом этого гипотез может быть только две: 010 и 101. Тогда решение задачи можно получить, если вычислить и проверить два выражения:

148

1) M1 G M2 G M3 ; 2) M1 G M2 G M3.

Первой коллизией будем считать ситуацию, когда в разных комнатах одно и то же содержимое. Вторая коллизия описывает несоответствие оценок истинности надписей на дверях комнат их содержимому: для комнаты с тигром

– истинная надпись, для комнаты с принцессой – ложная. Выполним вычисления для первой гипотезы:

M1 G M2 G M3 = [ {P, T}] G [{T} ] G [ {P, T}] = = [{T} {P, T}].

Проанализируем эту ситуацию. Поскольку в первой комнате тигр, то в третьей комнате тигра быть не должно, следовательно, там принцесса. Поскольку там принцесса, то надпись должна быть истинной. На самом деле это не так, гипотеза 010 отвергается.

Проверим вторую гипотезу.

M1 G M2 G M3 = [ {E}] G [{P, E} ] G [ {E}] = [{P, E} {E}].

Раз третья комната пуста, то в первой может быть только принцесса и, следовательно, тигр находится во второй комнате. Проверка показывает, что на дверях комнаты с принцессой истинная надпись, а на дверях комнаты с тигром

– ложная. Гипотеза 101 принимается, принцесса в первой комнате.

Для этой же задачи можно найти решение проверкой других гипотез, в частности, таких: принцесса находится в комнате с номером I (I = 1, 2, 3). Поиск решения в такой постановке предоставляем читателю.

Формулировка и проверка гипотез обычно применяется в совокупности с другими методами анализа модифицируемых рассуждений. Ниже мы опишем использование гипотез при поиске абдуктивных заключений.

4.3.3. Абдуктивные заключения

Абдукция – это процесс формирования объясняющей гипотезы, когда известны посылки и предполагаемое следствие, которое при формальной проверке не следует из посылок, но, тем не менее, подтверждается фактами или обоснованными аргументами. Прототип абдукции – задача диагностики.

149