Материал: Алгебра_кортежей

Здесь полными являются только проекции: [XA] и [XB], так как содержат все значения атрибутов. Проекция [XAXB] неполная, поскольку в ней нет пары (0, 0). Все остальные проекции – также неполные.

Сформируем для A некоторую совокупность неполных проекций. Тогда все многообразие вариантов формирования возможных следствий Bi может быть выражено тремя правилами.

Правила вывода следствий в АК

1)оставить в качестве Bi одну из неполных проекций;

2)выбрать в качестве Bi любую проекцию при условии, что в ее состав входит, по крайней мере, одна неполная проекция;

3)для выбранного по предыдущим правилам АК-объекта построить покрывающий его неполный АК-объект, добавив к нему элементарные кортежи или C-кортежи.

Если выбрать третье правило и использовать в качестве объекта его применения само A, то все многообразие следствий из A можно получить,

добавляя в него по одному элементарному кортежу из множества A. Ясно, что для практических целей этот способ не пригоден, однако использование первых двух правил позволяет относительно просто находить следствия с учетом заданных ограничений.

Для иллюстрации метода рассмотрим промежуточный результат из примера 4.3:

Пусть мы хотим получить следствие, в котором используются атрибуты X2 и X4. Для этого вычисляем проекцию

Проекция оказалась неполной, она соответствует логической формуле

B ( B D) = B D = B D = D B.

Перевод этой формулы на естественный язык следующий:

140

1)Смит был убийцей или преступление имело место после полуночи;

2)если Смит не был убийцей, то преступление имело место после полуночи;

3)если преступление совершено до полуночи, то Смит был убийцей.

Нетрудно убедиться, что приведенных выше правил формирования возможных следствий достаточно для построения всех возможных следствий из заданного набора посылок.

4.3.Анализ модифицируемых рассуждений

4.3.1.Коллизии в рассуждениях

К модифицируемым рассуждениям относятся логические системы, у которых в ходе анализа могут изменяться исходные предпосылки. Это связано с предположительным характером многих наших знаний, которые могут уточняться. Процесс уточнения знаний не всегда однозначен, часто приходится выбирать подходящую гипотезу среди множества вариантов, поэтому целесообразно ввести определенные критерии корректности новых знаний. В классической логике таким критерием служит отсутствие противоречий в знаниях.

В математической логике противоречивость системы рассуждений (теории) определена лишь для случая, когда из посылок одновременно выводится некоторое следствие и его отрицание. В то же время и в повседневных, и в неформализованных научных рассуждениях один из бесспорных критериев несостоятельности системы знаний – вывод контрарных следствий (например, из посылок следует, что "всем A присуще B" и "всем A не присуще B"). Формально эти два суждения не являются отрицаниями друг друга. Отрицание формулы x(A(x) B(x)) в исчислении предикатов дается формулой x(A(x) B(x)) – "некоторым A не присуще B", но не формулойx(A(x) B(x)), которая соответствует суждению "всем A не присуще B".

Чтобы устранить это и другие несоответствия между формальной логикой и естественными рассуждениями, в систему логического анализа предлагается ввести понятие коллизия. Коллизии в основном возникают в модифицируемых рассуждениях при вводе новых знаний (гипотез) как нарушение некоторых формально выраженных правил или ограничений, регулирующих целостность

141

или смысловое содержание системы. В системах пересматриваемой аргументации коллизиям в какой-то степени соответствуют такие ситуации, как "опровержение", "подрыв аргумента", "атака" и т.д. [Вагин, 2004].

Термин "коллизия" был использован при анализе рассуждений типа силлогистики [Кулик, 2001]. Были определены два типа формальных коллизий:

коллизия парадокса, когда из посылок следует суждение типа "всем A не присуще A" (A A) и, значит, объем термина A пустой;

коллизия цикла, когда в системе множеств выводится соотношение A В … A, что означает эквивалентность терминов, входящих в данный цикл.

Эти коллизии распознаются как свойства самих моделей без сравнения с моделируемой ситуацией, поэтому они и названы формальными.

Третья коллизия не относится к формальным и характеризует ситуацию, в которой полученные следствия системы рассуждений не соответствуют бесспорным фактам или обоснованным утверждениям. Этот тип коллизий назван коллизией неадекватности.

В отличие от логического противоречия, которое, по сути, означает безусловное вырождение посылок, коллизии в разных ситуациях могут иметь противоположный смысл. Другими словами, коллизия, в отличие от противоречия, зависит от семантики моделируемой системы. Например, в одной системе равенство A = означает отсутствие объекта, без которого существование моделируемой системы невозможно, в другой – уточнение статуса объекта A. В первом случае система посылок требует изменений, во втором – мы получаем новую полезную информацию.

Приведем примеры коллизий, которые могут иметь место в задачах анализа полисиллогизмов [Кулик, 1997; 2001].

Пример 4.4. Даны посылки:

1.Все мои друзья хвастуны и не скандалисты.

2.Все хвастуны не уверены в себе.

3.Все не скандалисты уверены в себе.

Из заданных посылок следует утверждение "Все мои друзья не мои друзья", показывающее, что множество моих друзей пусто (коллизия парадокса).

142

Для анализа коллизий при решении задач полисиллогистики была разработана методика, в которой используется разновидность частично упорядоченных множеств – E-структуры [Кулик, 2001]. Однако для этой цели методы АК также применимы, хотя и оказываются более сложными. Выразим посылки на языке исчисления предикатов. Допустим, A – предикат "x – мой друг", B – "x – хвастун", С – "x – скандалист", D – "x – уверенный в себе". Теперь условия задачи запишутся так:

1.A (B C) = A (B C)

2.B D = B D.

3.C D = C D.

Им соответствуют АК-объекты заданные в универсуме {0, 1} (для краткости компоненты {0} и {1} обозначены как 0 и 1):

Пересечение этих структур c применением ортогонализации дает:

Если вывод противоречит действительности (коллизия неадекватности), то требуется корректировка посылок. К успеху, в частности, приводит замена третьей посылки на обратную ей: "Все уверенные в себе не скандалисты". После такой замены коллизий не возникает.

143

Как пример противоположного смысла той же коллизии рассмотрим следующую задачу. Пусть задана некоторая система множеств целых чисел. Каждое множество этих чисел характеризуется делимостью на определенное целое число. Например, множество N3 состоит из чисел, делящихся без остатка

на 3. Дополнение N3 этого множества – все числа, не делящиеся на 3. Известно, что между множествами существуют следующие соотношения:

1)N2 (N3 N5 );

2)N3 N7 ;

3)N7 N5.

По структуре эта система полностью совпадает с предыдущей. Но возможность пересмотра посылок здесь исключена. Поэтому возникающая коллизия парадокса N2 N2 и соответствующий вывод N2 = говорят лишь о том, что в данной системе посылок существование четных чисел невозможно.

Пример 4.5. Даны посылки:

1.Все, что существует, подтверждается экспериментом.

2.Все неизвестное не подтверждается экспериментом.

3.Все известное существует.

По аналогии с примером 4.4. проанализируем условия задачи методами АК с целью выявления в них возможных коллизий. Пусть А – предикат "x существует", В – "x экспериментально подтверждается", С – "x известен". Тогда посылки будут иметь вид:

1.А В = A В.

2.C B = С B.

3.С А = C А.

Перепишем их в терминах АК: