Материал: А27819 Лазарев В.Л. Робастое управление
ность фактически характеризует распределение мощностей отдельных гармонических составляющих в частотном диапазоне.
Приведенный выше набор неслучайных функций используется для характеристики случайных процессов. Для решения поставленных в данной работе задач необходимо определить типы случайных процессов, которые доминируют в практике управления рассматриваемыми технологическими объектами. В основе классификации все случайные процессы делятся на стационарные и нестационарные.
Стационарным случайным процессом называется процесс, у которого все вероятностные характеристики не зависят от времени. Исходя из вышесказанного, стационарный процесс можно исследовать на любом временном интервале, при этом его характеристики остаются неизменными.
Нестационарным случайным процессом называется процесс, который имеет тенденцию изменения во времени: его вероятностные характеристики являются функциями времени. Примером нестационарного процесса является процесс, изображенный на рис. 2.1, а.
Нестационарными стадиями процесса являются стадии выхода на режимы подсушки, обжарки, варки и охлаждения. После окончания каждой из этих стадий объект переходит в соответствующий установившийся режим, в каждом из которых процесс изменения температуры во времени с некоторым приближением может считаться стационарным. То же самое можно сказать и о случайном процессе, изображенном на рис. 2.1, б. Здесь относительно небольшим стационарным участком является участок варки колбасных батонов на заключительной стадии термообработки перед началом охлаждения. В подавляющем большинстве случаев, и это подтверждается приведенными примерами, целенаправленная обработка сырья, формирование тех или иных свойств продукции осуществляются на конкретных этапах технологической обработки в установившихся технологических операциях, где проявление различных случайных воздействий обусловливает наличие стационарного (или псевдостационарного) случайного процесса в режимных параметрах. Поэтому синтез системы управления и выбор соответствующих технических средств должны осуществляться исходя именно из этой предпосылки. Что касается выбора стратегии управления в переходных режимах, то, как отмечалось выше (разд. 1), она в большинстве случаев направлена
36
на форсирование (повышение быстродействия) этих режимов и решается с использованием принципов релейного управления. Наложение нестационарных случайных воздействий на технологические параметры в переходных режимах, возможно приводящие в отдельные моменты времени к недопустимым пиковым значениям, могут быть устранены с помощью соответствующих блокировок.
Таким образом, становится очевидным, что для решения задач синтеза систем контроля и управления производственными технологическими процессами целесообразно ограничиться рассмотрением стационарных случайных воздействий на всех стадиях производства.
Предположение о стационарности случайных воздействий на основных стадиях производства позволяет конкретизировать свойства вышерассмотренных характеристик в следующем виде:
1. mx (t) |
mx |
const; |
(2.12) |
2. Dx (t) |
Dx |
const; |
(2.13) |
3. Kxx (t1, t2 ) |
Kxx (t1, t1 τ) Kx ( ). |
(2.14) |
|
Условия (2.12) и (2.13) вытекают из определения стационарности. Условие (2.14) также является следствием стационарности, так как очевидно, что значение Kxx (t1, t2) не зависит от времени t, а зави-
сит только от временного интервала |
= t1 – t2. |
4. Kx ( ) Kx ( τ) . |
(2.15) |
Данное условие следует из определения функции Kxx(t1, t2), согласно которому Kxx (t1, t2) = Kxx (t2, t1). Отсюда для стационарного
случайного воздействия при t2 – t1 = получаем условие (2.16). |
|
|
5. Kx (0) |
M [x2 ]. |
(2.16) |
Для центрированного случайного воздействия условие (2.16) |
||
трансформируется к виду |
|
|
|
0 |
|
|
Kx (0) M{[x(t)]2} Dx . |
(2.17) |
6. Kx ( ) |
mx2 . |
(2.18) |
|
37 |
|
Условие (2.18) следует из того, что при = сечения случайной функции x(t) являются независимыми, и корреляционная функция отличается от нуля только за счет наличия неслучайной
составляющей mx. Очевидно, что для центрированной |
случайной |
|
0 |
|
|
функции х(t) |
будет иметь место условие (2.19). |
|
7. K 0 ( |
) 0. |
(2.19) |
x |
|
|
8. Согласно теореме Винера–Хинчина, для стационарной случайной функции x(t) существует взаимосвязь между корреляционной функцией Kx( ) и ее спектральной плотностью S( ) в следующем виде:
K ( ) = |
e jωτ S (ω) d (ω); |
(2.20) |
||
0 |
|
|
|
|
S ( ) = |
e jωτ K |
x |
(τ) dτ, |
(2.21) |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
или в тригонометрической форме
K x ( |
) |
2 S ( |
|
) cos ω τ d ; |
(2.22) |
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
S ( |
) |
1 |
K x |
( |
) cos ω τ d . |
(2.23) |
|
|
|||||||
π |
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
||
Качественная зависимость между приведенными характеристиками такова: чем шире график корреляционной функции, тем уже график функции спектральной плотности, и наоборот.
Для удобства экспериментального определения характеристик случайных воздействий используют гипотезу об их эргодичности. Математическая формулировка свойства эргодичности случайных функций состоит в том, что среднее по множеству наблюдений равно среднему по времени (для достаточно протяженного интервала наблюдений). Из приведенной формулировки видно, что указанное свойство характерно для стационарного процесса. Так как характеристики стационарного воздействия не изменяются во времени,
38
то множество наблюдений воздействия может быть заменено длительным наблюдением за одной из его реализаций. Например, математическое ожидание такого воздействия mx при длительном наблюдении за ним в течение интервала времени Т (Т 
) может быть определено следующим образом:
|
|
|
1 T |
(2.24) |
|||
mx |
M[x(t)] |
xp (x) dx |
|
|
|
x (t) dt. |
|
|
|
||||||
|
|
|
T 0 |
|
|||
Аналогично могут быть вычислены величина дисперсии |
|||||||
Dx M[x (t) mx ]2 |
(x |
mx )2 p (x) dx |
|
1 |
T {x (t) |
mx ]2 dt (2.25) |
|
|
|
||||||
|
|
|
T 0 |
|
|||
и корреляционная функция
|
1 |
T |
τ |
|
K х ( ) |
|
[x (t) mx ][x (t τ) mx ] dt . |
(2.26) |
|
|
|
|||
T τ |
|
|||
|
|
0 |
|
Для стационарных эргодических дискретных случайных функций вычисление рассмотренных характеристик производится аналогично, только в выражениях (2.24) – (2.26) процедура интегрирования будет заменена суммированием по всем реализациям. Так, например, для n-мерной случайной выборки x(ti) (i = 1, 2, ..., n) выражение (2.24) трансформируется к виду
|
1 |
|
n |
|
|
mx |
|
|
x(ti ) |
(2.27) |
|
n i |
|||||
|
1 |
|
|||
и так далее.
Приведенные характеристики широко используются в инженерной практике для описания случайных воздействий. С их помощью оценивается влияние разнообразных воздействий на состояние объектов и систем. Рассмотрению данного вопроса посвящен следующий раздел.
39
3. ВЛИЯНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ НА ОБЪЕКТЫ И СИСТЕМЫ
3.1. Основные положения
Для анализа работы объекта при наличии случайных воздействий необходим математический аппарат, описывающий взаимосвязь между данными воздействиями и их проявлениями (откликами) на выходе. Исходя из рассмотренных выше особенностей характера воздействий и математического описания класса объектов и систем управления, математическая формулировка этой задачи может трактоваться как анализ прохождения стационарного случайного сигнала через линейную стационарную динамическую систему. Классический вариант решения такой задачи при наличии математического описания динамики объекта или системы позволяет установить зависимости между математическими ожиданиями, корреляционными функциями или функциями спектральных плотностей случайных воздействий и их откликов. В более сложных и реальных случаях, когда требуется увязать влияние случайных воздействий с величинами допусков на отклонение свойств продукции на выходе или при отсутствии полной информации по таким воздействиям, возникают неопределенности. Данные обстоятельства и являются предпосылкой для организации робастного управления. Ниже излагаются схемы и алгоритмы решения различных вариантов задач, обусловленных соответствующими производственными ситуациями.
3.2. Преобразование стационарного случайного воздействия динамической линейной системой
В данном подразделе в качестве первоосновы рассматривается классический вариант вышеупомянутой задачи. В ее рамках любой объект рассматривается как стационарная динамическая система, коэффициенты дифференциального уравнения которой или соответствующей передаточной функции W(p) являются постоянными. Технологический процесс, протекающий в таком объекте, преобразует входной параметр x(t) (например, какую-либо характеристику сырья
40