Материал: А27819 Лазарев В.Л. Робастое управление

при этом подразумевается, что функция F(х) непрерывна и дифференцируема.

Из определения функции р(х) следует, что:

1)p(x) 0;

2)p(x)dx 1;

Для дискретной случайной величины плотность вероятности вырождается в распределение вероятностей Р(Хi), которое задается конечным рядом. В данном случае очевидно, что интегральный закон распределения случайной величины F(x) может быть выражен через распределение вероятностей Р(Хi) следующим образом:

F (x) Р( Х i ); Хi < х.

(i)

Если случайное воздействие характеризуется несколькими координатами, т. е. может быть представлено как случайный вектор, то оно рассматривается как многомерная случайная величина. Понятия интегрального и дифференциального законов распределения по аналогии вводятся и для многомерных случайных величин. В данном случае соответствующие функции будут многомерными и в отличие от одномерных случайных величин будут представляться не кривыми, а некоторыми гиперповерхностями в соответствующей системе координат.

Для удобства решения практических задач реальные законы распределения случайных величин «округляют» с той или иной степенью точности до известных типовых законов, свойства и параметры которых изучены и определены.

На практике, исходя из удобства использования, наибольшее распространение для характеристики случайных величин получил дифференциальный закон распределения. Один из примеров вида дифференциального закона распределения приведен на рис. 2.1, в.

31

Нахождение закона распределения требует значительных трудозатрат

ибольшого объема вычислительной работы. Иногда оказывается удобнее воспользоваться набором числовых параметров, характеризующих различные свойства случайной величины. Данный набор важнейших параметров состоит из ограниченного ряда начальных

ицентральных моментов.

Начальные моменты k-го порядка случайной величины Х определяются из следующих выражений:

– для дискретной случайной величины

(i)

где Рi – вероятность появления случайной величины хi;

– для непрерывной случайной величины

альное название – математическое ожидание случайной величины. Математическое ожидание является своеобразным «центром тяжести», вокруг которого происходит «рассеяние» случайной величины.

Центральные моменты k-го порядка случайной величины х определяются из следующих выражений:

– для дискретной случайной величины

(i)

– для непрерывной случайной величины

Для практических целей наиболее важными являются второй, третий и четвертый центральные моменты.

32

Второй центральный момент 2(Х) = Dx получил специальное название – дисперсия. Дисперсия характеризует степень «рассеяния» случайной величины относительно математического ожидания. Чем больше дисперсия, тем больше разброс случайной величины, и наоборот. Для детерминированной величины с дисперсия равна нулю, т. е. Dc = 0. Для большей наглядности степени разброса случай-

называемый величиной среднего квадратического отклонения (СКО)

скошенность плотности распределения. Для количественной характеристики асимметрии используют безразмерную величину, называемую коэффициентом асимметрии Sk ,

Очевидно, что для симметричной (относительно mx) кривой плотности распределения случайной величины Sk = 0. Пример положительной асимметрии (Sk 0) плотности распределения приведен на рис. 2.1, в.

Четвертый центральный момент 4 характеризует степень «островершинности» распределения. Для количественной характеристики данного свойства используют специальную безразмерную величину, называемую эксцессом Ех,

В качестве «отправной точки» для оценки «островершинности» распределения используется нормальный закон распределения,

распределения согласно выражению (2.7) равно нулю. Таким обра-

33

зом, более «островершинные» кривые по сравнению с нормальным распределением имеют положительный эксцесс и наоборот.

Рассмотренный набор числовых параметров (mx, x, Sk, Ex) довольно полно, но не исчерпывающе, характеризует свойства случайной величины. При необходимости могут быть использованы и другие параметры, например мода, медиана. Однако они получили меньшее распространение.

2.4. Случайная функция и ее характеристики

Случайные процессы, протекающие в различных объектах, описываются с помощью математического аппарата случайных функций. Для получения адекватного математического описания случайного процесса его следует предварительно классифицировать. Для этого необходимо определить основные характеристики. Как следует из определения случайной функции, ее закон распределения в общем случае зависит от времени. Поэтому и ее характеристики также должны являться функциями времени. По аналогии со случайными величинами для характеристики случайных функций используется ограниченный набор неслучайных функций времени, которые достаточно объективно их определяют. Для решения практических задач наибольшее распространение получили следующие функции.

1. Математическое ожидание случайной функции x(t) – mx(t). Если t придать фиксированное значение ti, то получим «сечение» случайной функции по времени. Совокупность математических ожиданий mx(ti) случайных величин x(ti) для всех значений t определяет математическое ожидание случайной функции mx(t).

2. Дисперсия случайной функции x(t) – Dx(t). По аналогии с предыдущим определением, Dx(t) называется функция времени, которая при каждом конкретном значении t = ti равна дисперсии случайной величины, получающейся в результате соответствующего «сечения» рассматриваемой случайной функции x(t). Среднеквадратическое отклонение случайной функции х(t) определяется по аналогии

со случайными величинами как σх (t) Dx (t).

3. Корреляционная функция. Корреляционная функция характеризует интенсивность изменения случайной функции во времени

34

или, образно говоря, степень ее турбулентности. Для строгого описания такого свойства рассматриваются пары временных «сечений», соответствующих моментам времени t1 и t2. Степень связанности случайных значений функций x(t1) и x(t2) характеризуется корреляционной функцией Kxx(t1, t2)

Для наглядности и удобства представления часто используют

Другими словами, дисперсия случайной функции есть частный случай ее корреляционной функции.

Для удобства на практике часто используют нормированную корреляционную функцию, которая определяется из выражения

4. Спектральная плотность Sx( ). Спектральная плотность описывает распределение дисперсий случайной функции x(t) по частотному спектру. Ее также можно трактовать как распределение средних значений квадратов амплитуд отдельных гармонических составляющих исходной функции x(t). Так как квадрат амплитуды гармонического сигнала пропорционален его мощности, спектральная плот-

35