Материал: А27819 Лазарев В.Л. Робастое управление

ленные неоднородностью температурного и влажностного полей. Таким же образом можно контролировать изменение состояния системы, вызванное изменением базовых значений параметров, соответствующим переходу камеры на другой климатический режим, и др.

8.2. Обобщение понятий энтропийных потенциалов

Вышеизложенные понятия энтропийных потенциалов ( e, L и Laz) могут быть выражены через единое обобщенное определение, позволяющее при необходимости осуществлять дальнейшее пополнение и развитие указанных понятий.

В общем виде совокупность введенных выше понятий энтропийных потенциалов E для описания состояний неопределенности можно определить кортежем множеств и отношений вида

X = { i}, i = 1, 2, …, m – множество элементов или параметров, используемых для описания состояния объекта. Количество элементов m определяет размерность вектора состояния. Это конечное множество

может состоять из набора отдельных кластеров j( ) (j = 1, 2, ..., k), имеющих соответствующие области изменений Dj. То есть все множество состояний какого-либо i-го параметра i = j( ), где – вектор факторов, определяющий вариацию величин i-го параметра (например, фактор временных или каких-либо пространственных координат); NE – набор отображений для подмножеств параметров из i. Например, в моделях энтропийных потенциалов используются отображения для получения характеристик рассеяния i, базовых значений параметров Xni, величин энтропийных коэффициентов Kei, а также, при необходимости, соответствующих весовых коэффициентов ci; LE,Z – набор форм отношений для отображения элементов из NE в PE по схеме NE PE. Z – Номер варианта форм. Например, для отображения элементов из X в Laz в данной работе используются всего два варианта отображений (Z = 1 и Z = 2), соответствующих линейным и квадратичным формам. Однако при необходимости варианты форм могут быть

171

изменены или дополнены; PE – набор оценок, критериев, характеризующих состояние неопределенности элементов из X: e, L , Laz.

Приведенное определение (8.40) допускает дальнейшее дополнение перечня вводимых понятий для описания состояний неопределенности в различных задачах, а также при использовании различных групп параметров. Так, например, для отображения элементов из X

вLaz могут использоваться, помимо указанных, иные формы или зависимости (например, формы более высоких порядков Z 2). Также возможен переход к другим законам распределения, используемым

вкачестве базы для сравнения состояний неопределенности и др.

Для решения различных практических задач необходимо опре-

делять и исследовать величины энтропийных потенциалов, а также их отдельных параметров, характеризующих различные «грани» состояний неопределенности, например величины , Ke и Xn. Причем наибольшую сложность вызывает определение величин Ke, свойства которых также изучены в меньшей степени. Рассмотрению комплекса данных вопросов для различных ситуаций и вариантов исходных данных посвящен следующий подраздел.

8.3. Методы определения энтропийных потенциалов

Исходя из изложенного подхода к организации исследования систем на основе энтропийных потенциалов параметров, возникает необходимость вычисления величин e в конкретных ситуациях. Последующие вопросы вычисления и исследования свойств величин L и Laz часто являются менее проблематичными и были рассмотрены выше. Поэтому далее рассматриваются основные методы вычисления величин e и их составляющих параметров.

8.3.1. Определение энтропийных потенциалов на основе результатов наблюдений (метод прямого оценивания)

Рассмотрим ситуацию, когда имеется возможность наблюдения параметра, например, в результате его измерения тем или иным способом. В таком случае может быть сформировано множество

172

результатов наблюдений X= xi, i I . На базе данного множества с использованием выражений (7.1) или (7.2) вычисляют энтропию параметра Н. Далее с использованием выражений (8.14) или (8.15) вычисляют величину e. Затем при необходимости может быть осуществлен переход к требуемой базе закона распределения.

На основе тех же результатов наблюдений производят вычисление величины и выбор значения величины Xn в соответствии с ее определением. При последующем вычислении значения Ke используют выражение (8.15). Затем вычисляют соответствующее значение величины L . Схема преобразования данных в этой процедуре может быть описана следующим образом:

xi, i I Н, , Xn e, Ke, L , x X. (8.41)

Алгоритм такой процедуры состоит из набора последовательно выполняемых «прямых» вычислений и действий и является однонаправленным. Однако при этом необходимо учитывать следующие специфические особенности.

При расчете величины энтропии Н в соответствии с выражением (7.1) моделирование плотностей вероятностей распределения параметра осуществляется путем разбиения всего диапазона его изменения [Xmin; Xmax] на конечное число интервалов r, которое имеет нарастающую зависимость от объема выборки n. Данная зависимость не является строгой, однако при выборе числа r целесообразно воспользоваться рекомендациями ВНИИМ, которые приведены, например, в книге [23].

Для удобства вычислений целесообразно выбирать интервалы

наблюдений распределены неравномерно, то ширина интервалов должна уменьшаться при повышении «плотности» наблюдений, и наоборот. Следует отметить, что в настоящее время для проведения таких расчетов в различных вариантах (с равными или неравными интервалами разбиений) имеется прикладное программное обеспечение, например в составе пакета MathCAD, позволяющее упростить организацию вычислений.

173

Кроме того, при расчетах значений величины e в соответствии с выражениями (8.14) или (8.15) необходимо вводить поправки на смещение от недостаточно большого числа наблюдений, попадающих в каждый интервал гистограммы, и от их группирования (в виде «корректирующих» сомножителей) в соответствии с рекомендациями, приведенными в работе [24]. Величины этих сомножителей зависят от характера распределения результатов наблюдений и стремятся к единице при возрастании объемов используемой выборки. Так, например, выражение для поправочного сомножителя на смещение от недостаточно большого числа наблюдений, попадающих в каждый

зультирующая относительная погрешность от влияния указанных поправок не превышает 5–8 %.

Если состояние системы характеризуется набором, состоящим из m-параметров, то вышеуказанная процедура реализуется в отношении каждого из них. В таком случае для вычисления величины критерия Laz дополнительно задаются значения соответствующих весовых коэффициентов ci (i = 1, 2, …, m).

В случаях, когда объем выборки мал и не позволяет получить достаточно представительные оценки величин энтропийных потенциалов и их определяющих параметров или требуется оперативно получить оценки данных величин при ограниченных вычислительных ресурсах, можно использовать метод «грубого» или робастного оценивания, суть которого изложена в следующем подразделе.

8.3.2. Определение энтропийных потенциалов в условиях априорной неопределенности (метод робастного оценивания)

Вероятной является ситуация, когда объем выборки наблюдений весьма ограничен и не позволяет получить состоятельную оценку величины энтропии Н(х), как это предусмотрено схемой (8.41).

Такая ситуация, например, характерна для различных объектов и систем в пищевой, химической, металлургической и других отраслях

174

промышленности. Она в значительной мере обусловлена сложностью и дороговизной проведения измерений параметров, характеризующих состав и свойства потоков сырья, готовой продукции, а также различных ингредиентов и добавок. Для проведения ряда таких измерений необходимо использовать сложную аппаратуру, дорогостоящие реактивы, привлекать высококвалифицированный персонал. При этом реализация отдельных измерений требует значительных затрат времени. Более подробно данный вопрос рассмотрен в работах [15, 17]. В результате с целью «оптимизации» производственных затрат ограничивают объем измерений, что, отчасти, и порождает возникновение указанной ситуации. Возможны и другие причины ее возникновения.

В указанной ситуации, имея весьма ограниченную выборку наблюдений X= xi, i I , предлагается осуществить определение отдельных составляющих параметров энтропийных потенциалов. Причем в качестве исходной базы необходимо выбрать такие параметры, для получения состоятельных оценок которых требуется выборка гораздо меньшего объема, чем для получения соответствующей оценки энтропии. Затем на основании полученных результатов и с использованием специальных моделей следует осуществить определение недостающих составляющих параметров и значений величин энтропийных потенциалов. В качестве исходной базы были выбраны параметры , Xmin, Xmax и Xn, которые поддаются простому вычислению для выборки практически любого объема (n 2). Далее на основе использования этой базы параметров предлагаются метод и соответствующий модельный комплекс F1 для вычисления оценки величины Ke. После чего последующие вычисления значений оценок величин e и Lпроизводятся в соответствии с выражениями (8.14) и (8.21). Схема преобразования данных в этой процедуре может быть описана следующим образом:

Из вышеизложенного следует, что одним из трудно определяемых параметров энтропийных потенциалов является величина энтропийного коэффициента Ke. Для решения ряда практических задач мониторинга и управления системами возникает необходимость его оперативного определения в условиях априорной неопределенности. Существующие методики определения Ke часто оказываются недостаточно

175