Материал: А27819 Лазарев В.Л. Робастое управление

эффективными на практике. Так, например, изложенная в работе [24] методика определения результирующего значения энтропийного коэффициента композиции некоррелированных параметров по значениям Ke отдельных параметров и относительным весам каждой из дисперсий в суммарной дисперсии решена только для некоторых наиболее известных типовых законов распределения. При этом подразумевается априорное знание видов данных законов. В реальных ситуациях, когда законы распределения параметров могут изменяться и может варьировать их число в этой композиции, применение таких методов является практически невозможным. Данные обстоятельства порождают необходимость разработки более удобного и надежного метода нахождения оценок энтропийных коэффициентов в реальных условиях неопределенности. Ниже излагается такой метод и приводится созданный для его практической реализации модельный комплекс.

Суть метода состоит в следующем. Выбирается обобщенная характеристика закона распределения , которая однозначно определяется на основании ограниченного объема экспериментальных данных. Для ряда законов с известными значениями энтропийных коэффициентов рассчитываются значения величин . В системе координат , Ke наносятся реперные точки искомой зависимости указанных коэффициентов от соответствующих величин выбранной характеристики . На основе этих точек тем или иным способом воспроизводится своеобразная «тарировочная кривая». В дальнейшем на основании результатов наблюдений параметра с использованием этой кривой рассчитываются величины и затем определяются величины Ke для любых законов распределения.

На основании проведенного анализа в качестве характеристики предлагается использовать величину относительного среднего квадратического отклонения (ОСКО), которая определяется из выражения

где – величина среднеквадратического отклонения (СКО) параметра; d – половина диапазона изменения параметра (размах выборки распределения),

здесь Xmax и Xmin – наибольшее и наименьшее значения параметра.

176

Очевидно, что при таком определении диапазон изменения находится в пределах от нуля до единицы.

Достоинством использования величины для определения величины Ke является то, что она всегда вычисляется на основании

«усредненный уклон» закона распределения, «степень предсказуемости» проявления различных значений параметра. В этом смысле она является более объективной характеристикой, чем, например, величина контрэксцесса, которая более полно характеризует степень «плосковершинности» или «островершинности» распределения.

Другим достоинством использования величины является то, что для ряда типовых законов она может быть вычислена аналитически.

При выборе крайних реперных точек, задающих диапазон варьирования Ke, целесообразно руководствоваться следующими соображениями. С уменьшением уровня предсказуемости или неопределенности проявления значений параметров значения Ke увеличиваются и наоборот. Одним из законов, имеющих наименьший «уровень состояния неопределенности», является дискретное двузначное распределение (которое, например, описывает величину зазора в кинематической цепи или величину напряжения от гистерезиса триггера) и характеризуется величиной Ke = 1. Наибольшей «неопределенностью» или непредсказуемостью в проявлении тех или иных значений параметра, как показано выше, обладает нормальный закон, для которого Ke = 2,07. Для подавляющего большинства реальных законов распределения значения Ke находятся внутри указанных границ. Поэтому реперные точки, соответствующие этим двум законам, целесообразно использовать в качестве крайних при построении тарировочной кривой.

Определим координаты реперных точек для ряда типовых законов распределения.

1. Дискретное двузначное распределение:

2. Арксинусоидальный закон распределения:

3. Закон равномерной плотности:

4. Распределение Симпсона (треугольный закон распределения):

5. Нормальный закон распределения:

Теперь, используя координаты пяти «реперных» точек ( i; Kei; i = 1, 2, ..., 5) в декартовой системе координат ( , Ke), можно построить «тарировочную кривую». Такая кривая приведена на рис. 8.8 и может использоваться для оперативного определения значений энтропийных коэффициентов на основании ограниченных объемов экспериментальных данных.

Рис. 8.8. Тарировочная кривая для определения энтропийных коэффициентов по значениям величин ОСКО (1–5 – реперные точки)

178

Следует отметить, что полученные с использованием изложенной методики оценки коэффициентов Ke в ряде случаев могут оказаться «грубыми». В этом смысле можно говорить, что такая «тарировочная кривая» на отдельных участках описывает рассматриваемую зависимость с некоторой долей неопределенности. Это обусловлено свойством сюръекции множества величин Ke для различных законов распределения по параметру . Другими словами, возможна ситуация, когда различные законы распределения, имеющие одинаковое значение величины , могут иметь различные значения величин Ke, вследствие чего появляется «размытость» исходной тарировочной кривой. На рис. 8.8 зона «размытости», или неопределенности обозначена затемнением. Количественная сторона этого вопроса в настоящее время до конца не исследована. Тем не менее, обобщая имеющиеся результаты исследований, можно сделать следующие выводы.

1.Существование, формы и размеры зоны «размытости» обусловлены наличием множества «не типовых» законов распределения: несимметричных, многомодальных и др.

2.Имеет место нелинейная зависимость уменьшения вероятно-

сти отклонений значений Ke от исходной тарировочной кривой с увеличением модуля этого отклонения. Данное свойство на рис. 8.8 проиллюстрировано изменением интенсивности затемнений указанной зоны.

3.Приведенные на рис. 8.8 формы и размеры зоны неопределенности тарировочной кривой приблизительно соответствуют существующим реалиям.

Необходимо также отметить, что вышеуказанное свойство

сюръекции величины Ke по параметру величины не менее выразительно проявляется и по другим параметрам, которые могут быть использованы для количественной характеристики законов распределения. Так, например, использованная в работе [24] для характеристики закона распределения параметра величина контрэксцесса (вместо величины ) дает более «грубую» и, главное, неоднозначную тарировочную кривую для получения значений Ke. Причем, как показывают результаты сравнений для отдельных значений аргументов, модель, основанная на использовании в качестве аргумента величины ОСКО (или ), дает меньший разброс значений Ke относительно ука-

179

занного прототипа. Приведенные свойства отчасти и были учтены при синтезе модельного комплекса.

Анализ зависимости Ke = f( ), построенной по вышеуказанным реперным точкам, показывает, что она является нелинейной. Для удобства решения ряда практических задач оказывается приемлемым осуществить ее кусочно-линейную аппроксимацию в виде

При необходимости зависимость Ke = f( ) может быть уточнена с использованием предложенной методики как за счет увеличения числа реперных точек, так и более точной аппроксимации с использованием различных интерполяционных полиномов более высокого порядка как для всего диапазона изменения , так и на отдельных его участках. (Имеющийся опыт практического применения изложенного подхода позволяет сделать вывод, что для ряда задач приемлемой оказывается аппроксимация зависимости Ke = f( ) прямой, проходящей через точки 1 и 5, рис. 8.8). Возможны и другие варианты аппроксимации искомой зависимости, например, на основе метода наименьших квадратов и др.

8.3.3. Определение энтропийных потенциалов на основе характеристик входных воздействий

Возможны ситуации, когда не представляется возможным получить наблюдения выходных параметров объекта. Отчасти они могут быть обусловлены вышеуказанными причинами, связанными со сложностью и дороговизной проведения отдельных измерений. В ряде случаев это может быть связано с особенностью самих объектов, когда реализация отдельных измерений либо в принципе невозможна или может исказить или даже нарушить состояние объекта и протекающих в нем процессов (например, различные объекты с микро- и наноструктурами, а также объекты для реализации нанотехнологий). Следует отметить, что по мере нарастания темпов научно-технического про-

180