Материал: А27819 Лазарев В.Л. Робастое управление

гресса количество указанных объектов увеличивается. В таких случаях оценивание состояний неопределенности объектов может быть осуществлено косвенными методами на основании информации о воздействиях, влияющих на формирование анализируемых параметров.

Методика оценивания, как и в предыдущем случае, основана на использовании выражений (8.14) и (8.21). Только параметры энтропийных потенциалов e и L( , Ke и Xn) на выходе объекта (О) оцениваются по значениям величин параметров ЭП входного воздействия f и характеристикам объекта. Характеристики 1( f), 2(Kef) и 3(Xnf) в той или иной форме описывают взаимосвязь между соответствующими параметрами энтропийных потенциалов на входе и выходе объекта.

Схема преобразования данных в этой процедуре может быть описана схемой, представленной на рис. 8.9. Вычисление параметров энтропийных потенциалов входного воздействия f ( f, Kef и Xnf) может быть осуществлено методом прямого оценивания.

Рис. 8.9. Схема преобразования данных в случае определения энтропийных потенциалов на основе характеристик влияющих воздействий

При наличии ограниченного объема измерительной информации могут применяться методы робастного оценивания.

Далее будут рассмотрены основные методы определения вышеупомянутых характеристик объекта i (i = 1, 2, 3).

Методы определения дисперсии параметра на выходе объекта по характеристикам входных воздействий были рассмотрены выше. Вычисление величины на выходе может быть осуществлено по характеристикам случайных воздействий на входе и характеристикам объекта или системы из выражений (3.4)–(3.13) для линейных систем, из выражений (3.30)–(3.34) – для нелинейных систем.

Возможны варианты, для которых процедуры определения величины дисперсии значительно упрощаются. Рассмотрим два варианта.

181

Первый вариант соответствует ситуации, когда ширина полосы пропускания объекта или системы больше ширины частотного спектра воздействия на входе S f (ω) и в пределах полосы пропуска-

ния A(ω) A const (рис. 8.10, а). В данном случае частотный спектр отклика Sx (ω) однозначно определяется спектром входного воздействия

Тогда

Второй вариант соответствует ситуации, когда ширина полосы пропускания системы ýже полосы частотного спектра воздействия на входе (рис. 8.10, б), и в пределах полосы пропускания системы можно считать S f (ω) S const . В данном случае частотный спектр откли-

ка однозначно определяется частотной характеристикой системы. Следовательно,

Откуда следует

Надо также отметить, что определение дисперсий рассмотренных величин может быть осуществлено с использованием автокорреляционных функций R( ), которые однозначно выражаются через функции спектральных плотностей Sx (ω) .

182

Рис. 8.10. Варианты соотношений частотных характеристик системы

испектральных характеристик входных воздействий:

а– ширина полосы пропускания больше ширины частотного спектра воздействия;

б– ширина полосы пропускания ýже полосы частотного спектра воздействия

Дисперсия результирующего отклика σ2x , обусловленная наличием нескольких независимых откликов Xi, определяется через дисперсии этих откликов σi2 из выражения

(i)

В относительно редких случаях, когда между отдельными откликами существует корреляция, в выражении (8.51) появляются дополнительные слагаемые, содержащие соответствующие парные корреляционные моменты.

Определение значений энтропийных коэффициентов на выходе по характеристикам воздействий и свойствам объекта может быть осуществлено следующими способами.

Значение величины Kei (i I ) для каждого отдельного отклика xi может быть определено исходя из вида закона распределения входного воздействия и частотной характеристики объекта или системы по каждому из соответствующих каналов поступления воздействий.

Для линейного объекта или системы, когда АЧХ приблизительно постоянна в пределах ширины частотного спектра воздей-

183

ствия на входе (см. рис. 8.10, а), закон распределения отклика будет соответствовать закону распределения входного воздействия. В таком случае можно считать

В другой ситуации, когда ширина полосы пропускания системы ýже полосы частотного спектра воздействия на входе (см. рис. 8.10, б), закон распределения отклика будет определяться видом закона распределения входного воздействия и видом АЧХ. То есть будет иметь место зависимость вида

Методики определения закона распределения отклика для рассматриваемого случая приведены в специальной литературе, например в книге [25].

При исследовании трансформации энтропийных свойств законов распределения параметров в статических режимах (что представляет наибольший интерес для многих практических задач) функция 2 выродится в коэффициент преобразования закона распределения kke.

В общем случае значение коэффициента kke будет нелинейно зависеть от характеристик исходного воздействия и параметров системы. Так, например, при прохождении какого-либо воздействия f через систему согласно выражениям (8.15) и (8.31) можно записать

где Kex, Kef – энтропийные коэффициенты; Нx, Нf – энтропии воздействия и выходного параметра, соответственно.

Используя выражения (8.15), (8.31) и (8.54), значения kke можно определить экспериментальным путем. В ряде частных случаев коэффициент kke может быть определен аналитическим путем или эвристически с использованием некоторых допущений. Так, если предположить, что параметры x и f распределены по одному и тому же закону,

184

например, равномерной плотности с Ke = 1,73, то очевидно, что согласно выражению (8.31), kke = 1. Аналогичная ситуация будет иметь место и в случае, рассмотренном выше (см. рис. 8.10, а), когда входное воздействие практически без искажения проходит на выход объекта. В данной ситуации закон распределения отклика будет таким же, как и у входного воздействия, и kke = 1. В ряде случаев значения коэффициентов моделей энтропийных потенциалов (Ke и kke) могут быть определены эмпирическим путем исходя из определенных аналогий. Так, например, известно, что распределение вероятностей значений напряжения сети, нестабильность которого обусловлена воздействием случайных подключений и отключений различных потребителей электрической энергии, достаточно адекватно описывается треугольным законом распределения, или законом Симпсона с Ke = 2,02. Изменение в определенных пределах коммутируемых мощностей, а также подключений и отключений потребителей при достаточно большом их количестве в основном сказывается на изменении величины СКО. В этом случае приближенно можно считать Kex const = 2,02.

Другой частный пример, когда воздействие переменного электромагнитного поля с определенной частотой на неэкранированные объекты (различные приборы, линии связи и др.) приводит к появлению в них «наводок» паразитных сигналов, которые также изменяются по гармоническому закону с частотой входного воздействия. В данном случае воздействие и отклик подчиняются так называемому арксину-

Для упрощения процедуры решения задач в типовых ситуациях значения коэффициентов Ke и kke могут быть заранее вычислены и табулированы.

Энтропийный коэффициент результирующего отклика Ke , сформированного наличием нескольких воздействий, может быть определен по методике, предложенной в работе [24], суть которой состоит в следующем.

Для определения Keв случае композиции некоррелированных случайных откликов разработаны специальные графики (номограммы) для сочетаний основных типовых законов распределения. Для опреде-