Материал: А27819 Лазарев В.Л. Робастое управление

Выполнение условия (6.29) возможно обеспечить путем подбора коэффициентов полинома CN( ), так как из определения функции W (p) следует, что

Очевидно, что коэффициенты Сi (i = 1, 2, …, N) должны быть вещественными числами. Кроме того, исходя из свойств модуля пе-

просы аппроксимации функций вещественной переменной различными полиномами достаточно хорошо проработаны в математике и имеются различные методы определения коэффициентов Ci (i I ) . Используя аппроксимирующий полином (6.28) для выражения (6.27) и с учетом (6.29) можно записать

где D0, D1, …, DN – дисперсии задающего воздействия и его производных.

Теперь при наличии информации о дисперсиях воздействия

иего производных и предельной величине дисперсии динамической

ошибки DΔmax можно определить тип передаточных функций путем задания запретных областей для ЛАХ, обеспечивающих выполнение условия (6.31). Рассмотрим методику решения такой задачи. Умножим числитель и знаменатель левой части выражения (6.26) на W(p)

ив результате получим

где Ф(р) – передаточная функция замкнутой системы по выходной

W ( p)

величине, Ф( p) 1 W ( p) .

116

Из условий (6.27), (6.29) и (6.31) можно сформулировать требования к передаточной функции замкнутой системы по ошибке, обеспечивающие выполнение условий по ограничению величины D , которые в общем виде в комплексном выражении можно записать как

где С – вектор коэффициентов полинома (6.28); D – вектор известных величин дисперсий задающего воздействия и его производных.

С учетом выражений (6.32) и (6.33) требования к передаточной функции разомкнутой системы, обеспечивающей требуемое ограничение дисперсии динамической ошибки в комплексном выражении,

ную; 2) среднечастотную; 3) высокочастотную. Известно, что величины ошибок системы определяются поведением ЛАХ разомкнутой системы в области низких и частично средних частот, т. е. в диапазоне частот, лежащих левее частоты среза (напомним, что L(ωср ) 0 ).

«Поведение» ЛАХ в области высоких частот (правее частоты среза) на точность работы системы существенного влияния не оказывает. В данном случае это утверждение можно проиллюстрировать с помощью выражения (6.34). Действительно, при W (j ) 0, что справедливо для любой инерционной системы и, следователь-

и, естественно, практически не зависит от вида ЛАХ разомкнутой системы в данной области.

Основная неопределенность аппроксимации неравенства (6.34) может иметь место в области средних частот, т. е. в окрестности ср. Это обусловлено тем, что в данной области возможен так называемый «всплеск» АЧХ замкнутой системы, вызванный наличием резонансных свойств. Поэтому наибольшая погрешность асимптотической аппроксимации ЛАХ имеет место именно в области средних ча-

туд).

Величина М может задаваться в качестве одной из составляющих исходных данных при синтезе системы. Однако даже при наличии «колебательности» в процессе синтеза это явление в большинстве случаев стараются предельно нивелировать (если не удается исключить его полностью), стремясь к получению апериодического переходного процесса, так как увеличение колебательности приближает систему к границе устойчивости. Кроме того, существует множество объектов управления, особенно в биотехнологической промышленности, где из технологических требований, условий получения качественной продукции «колебательность» является недопустимой. Поэтому для проведения инженерных расчетов неравенство (6.35) достаточно объективно описывает требования к передаточной функции разомкнутой системы, обеспечивающей ограничение дисперсии динамической ошибки. Условие (6.35) можно проиллюстрировать в виде запретной области для ЛАХ разомкнутой системы. Граница указанной области, очевидно, задается линией

118

Рассмотрим конкретные примеры.

1. Известна только дисперсия задающего воздействия D0. Тогда для заданной величины D max согласно выражению (6.31) можно

ственным коэффициентом полинома (6.28). Согласно (6.29), имеем

Теперь, согласно выражению (6.37), определим границу запретной области для ЛАХ

стот, соответствующих спектральному составу задающего воздействия. Запретная область на рис. 6.4, а находится ниже указанной прямой и заштрихована.

2. Известна только дисперсия первой производной задающего

Теперь, согласно формуле (6.37), определяем границу запретной области ЛАХ

119

Как видно из выражения (6.41), граница запретной области для ЛАХ представляет собой прямую, в логарифмическом масштабе име-

претная область на рис. 6.4, б находится ниже указанной прямой и заштрихована.

3. Известна только дисперсия второй производной задающего воздействия – D2. Рассуждая аналогично изложенному в предыдущем

Очевидно, что граница запретной области представляет собой прямую, имеющую наклон –40дБ/дек и пересекающую ось L в точ-

Соответствующая запретная область на рис. 6.4, в находится ниже указанной прямой и также заштрихована.

Рассуждая аналогично, нетрудно показать, что наличие только одной дисперсии n-й производной задающего воздействия Dn позволяет определить границу запретной области для ЛАХ как прямую, имеющую наклон –n20 дБ/дек и пересекающую ось lg

120