Материал: А27819 Лазарев В.Л. Робастое управление

Очевидно, что величины Dy(x) и Dy( f ) зависят от вида ча-

стотной характеристики системы, а более точно – от ширины полосы пропускания п. Величина Dx уменьшается с увеличением п, так как при этом уменьшается искажение сигнала xз при его прохождении через систему, т. е. уменьшается динамическая ошибка. Величина Df, наоборот, возрастает с увеличением п, так как при этом ослабляется подавление данного возмущения или улучшаются условия его прохождения через систему. Качественный вид зависимостей Dy(x)

и Dy( f ) от ширины полосы пропускания п приведен на рис. 6.3.

Там же приведен качественный вид зависимости Dy от п в соответствии с выражением (6.21).

Как видно из графиков на рис. 6.3, существует некоторое оптимальное значение ширины полосы пропускания системы п opt, обеспечивающее минимум дисперсии выходной величины Dy. Из приведенных рассуждений и иллюстраций также следует вывод о том, что если случайные воздействия, действующие на систему, являются однотипными (помехи или задающие воздействия), то путем целенаправленной коррекции частотной характеристики или передаточной функции системы можно обеспечить сколь угодно малое значение величины Dy.

Рис. 6.3. Качественный вид зависимостей дисперсий Dy(x), Dy(f) и Dy от ширины полосы пропускания системы

111

Приведенные рассуждения, иллюстрации и выводы вытекают из выражений (6.11)–(6.13) и могут быть доказаны математически строго даже при наличии взаимной корреляции между воздействиями f и xз. Из приведенных рассуждений также следует, что задача отыскания оптимальной передаточной функции системы Ф(p)opt является вариационной задачей. Решение такой задачи в классическом варианте было предложено Н. Винером, который доказал, что искомое решение должно удовлетворять так называемому уравнению Винера– Хопфа. В результате этого решения было определено выражение для оптимальной комплексной передаточной функции системы, обеспечивающей минимум дисперсии, в виде

Полученное решение (6.22) может быть пролонгировано и для многомерной задачи, когда в качестве возмущений и задающих воздей-

ствий рассматриваются векторы f и xз соответствующей размерности. Упрощение выражения (6.22) возможно для различных частных случаев. Например, в случае следящей системы, когда у = х3

(слежение за входным воздействием), имеем

выражение (6.23) еще более упрощается до вида

В заключение данного подраздела необходимо отметить, что полученные теоретические решения по оптимизации передаточной

112

функции системы не всегда реализуются на практике. Во-первых, их реализация зачастую ограничивается экономическими или техническими факторами, обусловленными сложностью изготовления отдельных корректирующих звеньев. Во-вторых, при решении задачи синтеза системы разработчикам приходится учитывать и другие требования к ее свойствам, которые частично изложены в подразд. 6.2. Необходимость удовлетворения всем этим требованиям, зачастую противоречивым, может значительно деформировать «идеальный» фильтр. Поэтому на практике используется понятие квазиоптимальной системы как результата творческого компромисса разработчика между всем множеством требований, предъявляемых к системам управления в реальных условиях.

6.4. Синтез робастных систем управления при наличии ограниченной информации о случайных воздействиях

Рассмотренные в предыдущем подразделе методы синтеза оптимальных систем основаны на предположении о наличии характеристик случайных воздействий – спектральных плотностей или корреляционных функций. Однако в реальной ситуации получение такой информации для конструктора-разработчика может оказаться весьма проблематично. Особенно, как это было показано в подразд. 5.2, данная ситуация характерна для многих производств биотехнологической промышленности. Поэтому зачастую синтез систем приходится осуществлять при наличии ограниченной информации о воздействиях, что приводит к получению более «грубых» результатов. При этом информация о воздействиях может быть получена в виде более простых и доступных характеристик – дисперсий воздействия и некоторых его производных. Конечной задачей синтеза, как и в предыдущих случаях, является обеспечение требуемой точности работы системы обычно в виде условия (6.14).

Очевидно, что в идеальном случае, когда имеется вся необходимая информация о случайных воздействиях, задача синтеза системы в области частотных характеристик сводится к определению оптимальной полосы пропускания системы п opt (см. рис. 6.3), обеспечивающей минимум величины Dy. При наличии же ограниченной

113

информации происходит естественное «огрубление» решения, вслед-

зона определяется требованиями по ограничению величины дисперсии изменения выходной величины Dy(x) в соответствии с изменением задания xз, а верхняя граница диапазона п max определяется требованиями по ограничению дисперсии погрешности изменения выходной величины Dy(f) под действием возмущения f. В случае, когда нескорректированная система имеет относительно «узкую» полосу пропускания, величина Dy(х) будет превалировать в общей дисперсии выходной величины Dy, что наглядно проиллюстрировано на рис. 6.3. Поэтому при синтезе таких систем основное внимание следует уделять ограничению величины Dy(х). Данная ситуация особенно характерна для систем управления различными инерционными объектами как, например, в биотехнологической, химической и других отраслях промышленности. Многие из промышленных объектов (различные печи, пароварочные камеры, камеры для замораживания и дефростации, пастеризационно-охладительные установки, автоклавы, ректификационные колонны и другие) характеризуются весьма значительными величинами постоянных времени, достигающих десятков минут. Данные свойства и обусловливают существенное ограничение полосы пропускания системы.

В настоящее время на практике наибольшее распространение получили методы синтеза по частотным характеристикам разомкнутой системы – ЛАХ. Поэтому из практических соображений формулирование требований к свойствам создаваемой или желаемой системы управления удобнее осуществлять в виде набора ограничений к этой характеристике и, в частности, в виде задания запретных областей. В свете такой терминологии требование на ограничение величины Dy(х) сведется к заданию запретной области в диапазоне низких частот, в которую не должна попадать ЛАХ желаемой системы. Соответственно, требование на ограничение Dy(f) сведется к заданию другой запретной области, расположенной в диапазоне более высоких частот. Помимо упомянутых запретных областей при синтезе системы могут задаваться и другие запретные области, соответствующие различным режимам работы и требованиям к свойствам системы. Окончательно запретная область для ЛАХ в таких случаях может

114

быть получена либо в результате отыскания компромисса между отдельными требованиями к свойствам системы, либо в результате наложения отдельных областей, если это позволяет удовлетворить все исходные требования задачи.

Рассмотрим методики построения запретных областей для ЛАХ исходя из требований ограничения величины Dy(х) для различных вариантов наличия ограниченной информации о динамике изменений задающего воздействия xз.

В замкнутой системе автоматического регулирования (САР), задачей которой является отслеживание величины xз(t), ошибка слежения (t) является динамической ошибкой системы. При этом такая ошибка определяется из выражения

где W(p) – передаточная функция разомкнутой системы. Выражение

также называют передаточной функцией «по ошибке».

С учетом указанных обозначений выражение для дисперсии динамической ошибки примет вид

115