Материал: А27819 Лазарев В.Л. Робастое управление

меньше первого и им можно пренебречь. В данном случае условие (6.44) сведется к условию (6.38), т. е. к ситуации, рассмотренной

границы запретной зоны для ЛАХ будет определяться выражени-

слагаемое будет больше первого, что позволяет пренебречь первым слагаемым, и условие (6.44) сведется к условию (6.40) (см. пример 2), которое определит границу запретной области для ЛАХ в виде выражения (6.41). Очевидно, что искомая граница запретной области будет аппроксимирована двумя асимптотами, сопрягающимися в точ-

имеет место в точке сопряжения и будет убывать по мере удаления от нее в обе стороны. Запретная область для ЛАХ на рис. 6.4, г находится ниже ломаной асимптоты и заштрихована.

Рассуждая аналогично, можно определить запретные области и для других возможных сочетаний известных величин дисперсий. Очевидно, что с увеличением числа известных величин дисперсий увеличивается и число членов аппроксимирующего полинома (6.28),

121

что, в свою очередь, приведет к появлению дополнительных точек сопряжения и сопрягающих частот. Более подробно эти вопросы рассмотрены в работе [2].

Рис. 6.4. Запретные области для ЛАХ разомкнутой системы:

а– при известной величине D0; б – при известной величине D1;

в– при известной величине D2; г – при известной величине D0 и D1

Если на систему действует возмущающее воздействие, то согласно выражению (6.21) общая дисперсия выходной величины возрастает на величину дисперсии, обусловленной действием этого возмущения Dy( f ) . Ограничение величины Dy( f ) можно также задать

соответствующей запретной областью для ЛАХ в диапазоне высоких частот.

Однако аналитическое решение такой задачи сопряжено с большим объемом вычислительных работ. Поэтому на практике для учета действия различного рода возмущений (помех) обычно пользуются понятием эквивалентной полосы пропускания системы э, которая определяется из выражения

122

Ф ( j ) 2 d

лось выше, в ряде практических случаев (особенно при наличии инерционных объектов управления) спектральный состав возмущений превышает полосу пропускания системы. Поэтому можно допустить, что в пределах полосы пропускания системы величина Sf ( ) изменяется незначительно и с достаточной точностью считать ее постоянной и равной значению, которое достигается при = 0, т. е. S(0). Другими словами, возмущения представляются в виде так называемого «белого шума». В данном случае оказывается достаточно просто определить величину дисперсии Dy( f )

Для определенности считаем, что Ф(0) = 1. Для удобства определения величины Dу(f) по выражению (6.46) на практике пользуются готовыми зависимостями для э от параметров передаточных функций. Такие зависимости выведены для различных типов звеньев и вариантов систем и приведены в справочной литературе. Однако при необходимости данные зависимости могут быть получены из выра-

жения (6.45).

Рассмотрим примеры.

1. Требуется определить эквивалентную полосу пропускания апериодического звена первого порядка с известными параметрами k

123

и W(0) = k.

Согласно выражению (6.45), имеем

2. Определить эквивалентную полосу пропускания замкнутой системы, состоящей из апериодического звена первого порядка, охваченного отрицательной единичной обратной связью при известных параметрах звена k и Т.

Передаточная функция такой системы имеет вид

мени замкнутой системы, соответственно.

Очевидно, что такая система в динамическом отношении также является апериодическим звеном первого порядка только с измененными параметрами k0 и Т0. Поэтому для определения э можно воспользоваться результатами предыдущего примера, минуя промежуточные расчеты. Окончательно имеем

124

Из рассмотренных примеров в частности следует вывод о том, что «охват» статического инерционного звена отрицательной обратной связью через статическое звено (в данном примере с единичным коэффициентом передачи) приводит к увеличению его полосы пропускания и повышению быстродействия.

Задаваясь предельными значениями величины Dу(f) и зная характеристику возмущения в виде S(0), нетрудно рассчитать значение величины э для замкнутой системы из выражения

раметров системы и зная передаточную функцию разомкнутой системы, представляется возможным получить оценку верхней границы разрешенной области для ЛАХ разомкнутой системы.

Если же в силу специфических особенностей конкретного возмущения его спектральную плотность Sf ( ) нельзя считать постоянной в пределах полосы пропускания системы, то синтез системы можно осуществить методом последовательных приближений. В этом случае на каждом промежуточном шаге определяют вариант системы в виде соответствующей ЛАХ, которая строится с использованием запретных областей, обеспечивающих ограничение динамической ошибки, затем определяется величина Dу(f) и проверяется выполнение исходного требования по обеспечению точности ее работы в виде условия (6.14). После соответствующих уточнений, обычно в виде оценки верхней границы разрешенной области для ЛАХ разомкнутой системы, приступают к следующему шагу итерации и т. д.

При наличии разрешенной области для ЛАХ разомкнутой системы дальнейший синтез сводится к построению ЛАХ желаемой системы Lж, обеспечивающей оптимизацию выбранного критерия. Если, например, в качестве критерия оптимизации выбран функционал вида (6.10), то очевидно, что задача оптимизации заключается в нахождении его минимума. Далее на этом же графике строится ЛАХ располагаемой системы Lр. Чаще всего в качестве располагаемой системы рассматривается «неварьируемая» часть системы, не содержащая корректирующих звеньев (объект управления, первичные преобразователи,

125