Материал: А27819 Лазарев В.Л. Робастое управление
|
|
|
Sх ( ) |
A2 ( )S f ( ) |
|
|
|
Ф fх ( j ) |
|
2 S f ( ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
k |
|
|
|
2 |
|
f |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
2 k 2 |
|
|
. |
(3.46) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
j |
k |
с1 |
k |
|
|
( 2 |
2 ) |
|
|
[ |
2 (k |
с1 |
k)2 ]( 2 |
|
2 ) π |
|||||||||||||||
Определим дисперсию х в соответствии с выражением (3.7) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Dx |
2 |
2 |
Sх ( |
|
) d |
|
2 f |
2 |
|
k 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
. (3.47) |
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
[ 2 |
|
|
|
(k |
с1 |
k)2 |
]( |
2 |
|
2 ) |
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Интеграл в правой части выражения (3.47) вычисляется аналогично примеру, рассмотренному в п. 5 подразд. 3.3, методом разложения на простые дроби. В результате решения после вычисления интеграла и подстановки исходных данных с использованием выражения (3.45) для коэффициента kc1 окончательно имеем
σ2х 1.
В заключение данного подраздела необходимо отметить, что реализация метода статистической линеаризации основана на предположении, что система устойчива и в ней отсутствуют автоколебания. В противном случае наложение автоколебательного процесса на случайный сигнал может исказить параметры сигналов в разных точках системы и, в частности, их дисперсии. (В вышерассмотренном примере для упрощения задачи влияние автоколебательного процесса не учитывалось.) Для исследования режимов автоколебаний в нелинейных системах разработан и применяется метод гармонической линеаризации.
Сведения, изложенные в разд. 3, позволяют оценить влияние случайных воздействий на объект или систему. При этом априори подразумевается наличие математического описания объекта в той или иной форме и характеристик случайного воздействия. На практике отсутствие таких сведений зачастую является «камнем преткновения» для проведения исследований. Поэтому два следующих раздела посвящены методам получения математического описания объектов и систем и методам получения информации о входных воздействиях с учетом специфических особенностей процессов и производств биотехнологической промышленности.
66
4.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
ИСИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
4.1. Основные положения
При рассмотрении методов анализа работы систем в различных режимах подразумевалось наличие математического описания как систем, так и отдельных их элементов (звеньев) в виде передаточных функций или соответствующих им переходных и частотных характеристик. Очевидно, что наличие математического описания отдельных звеньев необходимо и для решения задачи синтеза систем при различных вариантах требований, предъявляемых к системе. Данный раздел посвящен рассмотрению методов получения математического описания элементов и систем управления.
Получение математического описания системы, как правило, начинается с определения математического описания отдельных звеньев, входящих в эту систему. Далее, исходя из структуры системы и используя правила преобразования структурных схем, составляется математическое описание всей системы. Общее правило таково: чем более подробно сделана детализация структурной схемы, тем более простыми оказываются составляющие звенья и тем более удобно и просто разрабатывать их математическое описание. При детализации структурной схемы необходимо ограничиваться такими звеньями, которые обладают свойствами направленности действия. Это означает, что звено передает воздействие только в одном направлении (от входа к выходу), и состояние такого звена не оказывает влияния на состояние звена, подключенного к его входу. При таком подходе представляется возможным осуществить анализ системы без учета конкретики физической природы сигналов и особенностей реализации звеньев на аппаратном уровне. Получение математического описания звеньев можно осуществить одним из двух способов: аналитическим или экспериментальным.
4.2. Аналитический метод получения математического описания
Аналитический метод основан на математическом анализе явлений, которые лежат в основе работы конкретного звена или объекта.
67
В зависимости от физической природы звена на основании законов, описывающих такие физические явления, аналитическим путем уста-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
навливается зависимость между соответствующими |
входными X |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и выходными Y параметрами и их производными |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
F( X ,Y ) 0 . |
(4.1) |
||||||
При этом в качестве входных параметров могут рассматриваться и возмущающие воздействия. Зависимость (4.1) в общем случае может быть представлена системой нелинейных дифференциальных уравнений. Для одномерных объектов зависимость (4.1) сводится к нелинейному дифференциальному уравнению вида
F( x, x(1) , x(2) , ..., y, y(1) , y(2) , ...) 0. |
(4.2) |
Если рассматриваются теплотехнические объекты, то их математическое описание получают на основании законов сохранения тепла, энергии, используя математическое описание явлений теплопереноса, теплопередачи, теплопроводности и др. Аналогично для объектов «электрической» природы математическое описание создается с использованием законов Ома, Кирхгофа; математическое описание «механических» объектов – на основании соответствующих законов механики: законов Ньютона, закона сохранения механической энергии, закона сохранения импульса и т. д.
Полученное таким образом исходное нелинейное уравнение вида (4.2) подвергается процедуре линеаризации. Линеаризация исходной функции осуществляется разложением в ряд Тейлора в окрестности точки номинального рабочего режима (x0, y0) с последующим оставлением только линейных членов ряда. В результате исходное нелинейное дифференциальное уравнение вида (4.2) приводится к линейному уравнению в приращениях x и y, которое в операторной форме имеет вид
(a pn |
a pn 1 |
... a ) y |
(b pm |
b pm 1 |
... b )x, |
(4.3) |
0 |
1 |
n |
0 |
1 |
m |
|
или
|
b |
p |
m |
b pm 1 |
... |
b |
|
|
|
y |
0 |
|
1 |
|
m |
x W ( p)x, |
(4.4) |
||
|
pn |
a pn 1 |
|
|
|||||
|
a |
... |
a |
n |
|
||||
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
68 |
|
|
|
|
где ai ; i I и b j ; j J – коэффициенты дифференциального уравне-
ния (4.3); х – приращение входной переменной, х = Х – Х0; у – приращение выходной переменной, у = Y – Y0; р – оператор дифференцирования,
|
d |
|
b pm |
b pm 1 |
... |
b |
|
p |
|
; W(p) – передаточная функция, W ( p) |
0 |
1 |
|
m |
. |
dt |
a0 pn |
a1 pn 1 |
|
|
|||
|
|
... |
an |
||||
Известно, что представление функции ограниченным числом членов ряда Тейлора в окрестности точки (x0, y0) тем точнее, чем меньше величины рассматриваемых приращений. Для систем автоматического регулирования, которые призваны поддерживать технологические параметры на заданных уровнях, такое представление является приемлемым в подавляющем большинстве случаев.
Осуществив прямое преобразование Лапласа над уравнением (4.3), получим
(a S n |
a S n 1 |
... |
a |
n |
)Y (S) = |
|
|
|||
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(b S m |
b S m 1 ... |
b ) Х (S) |
K |
n |
(S), |
(4.5) |
||||
0 |
1 |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
где S – комплексная переменная вида S |
|
с j |
; Y(S) – изображение, |
|||||||
по Лапласу (L), функции y(t), здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Y (S ) |
L[ y(t)] |
|
y(t) e St dt, |
|
(4.6) |
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
X(S) – изображение, по Лапласу, функции x(t), |
X (S) |
L[x(t)] по ана- |
||||||||
логии с (4.6); Kn(S) – многочлен, определяемый начальными условия-
ми. Если начальные условия нулевые, т. е. имеет место y(0) |
0; |
|||
y(k ) (0) 0, |
k 1, |
2, 3,..., n, то Kn (S) 0 . |
|
|
Таким образом, при нулевых начальных условиях имеем |
|
|||
|
|
|
Y (S) W (S)X (S), |
(4.7) |
|
|
|
|
|
где W (S ) |
W (p) |
|
p S . |
|
Нахождение оригинала y(t) может быть осуществлено с помощью обратного преобразования Лапласа L–1 над соответствующим изображением Y(S)
|
|
1 c |
j |
|
|
y(t) L 1[Y (S)] |
|
|
|
Y (S) eSt dS. |
(4.8) |
|
2 j c |
||||
|
|
j |
|
||
|
69 |
|
|
|
|
Прямое и обратное преобразование Лапласа используется для нахождения решения дифференциального уравнения, например, вида (4.3). Причем для нахождения изображений и оригиналов пользуются в основном не формулами (4.6) и (4.8), а готовыми таблицами преобразования Лапласа.
Для многомерного объекта и при нулевых начальных условиях его математическое описание может быть представлено в матричной форме в следующем виде:
|
|
|
|
|
|
|
(4.9) |
Y (S) X (S)W (S), |
|||||||
где Y (S ) – матрица–столбец изображений выходных переменных Y1(S) ... Yk(S); X (S) – матрица–столбец изображений входных перемен-
ных X1(S) ... Xk(S); W(S) – матрица–столбец передаточных функций, k K. При разработке математического описания необходимо также учитывать возможную «нестационарность» объекта. Обычно данное явление проявляется в том, что некоторые параметры объекта, которые определяют величины коэффициентов передаточной функции, варьируют во времени. Это приводит к тому, что в выражении (4.4) некоторые из коэффициентов ai и bj также будут изменяться во вре-
мени, т. е. аi = аi (t) и bj = bj (t). Так, например, при тепловой обработке молока в теплообменных аппаратах (пластинчатых, трубчатых)
происходит образование белковых отложений на внутренней поверхности теплообменных конструкций, что, в свою очередь, приводит к изменению условий теплопередачи от энергоносителя (пара, горячей воды) к продукту. Вследствие этого, например, изменяются постоянные времени объекта по каналу «температура энергоносителя – температура молока на выходе». При длительной эксплуатации данного объекта значительный прирост белковых отложений может нарушить тепловой режим работы, что приведет к его перегреву и выходу из строя. Поэтому существующие регламенты на эксплуатацию такого оборудования предусматривают его периодическую разборку и мойку. В процессах термообработки колбас, выпечки хлебобулочных изделий в результате интенсивного тепло- и массообмена с окружающей средой – энергоносителем – происходят изменения теплофизических свойств обрабатываемых изделий – колбасных и тестовых заготовок, что, в свою очередь, является причиной изменения соответствующих параметров передаточных функций этих
70