Материал: А27819 Лазарев В.Л. Робастое управление

Выразим my через параметры звена и входного воздействия x(t)

Подставляя выражение (3.26) в формулу (3.25), окончательно получаем

Выражение для kс1 находим из условия, что рассматриваемое звено осуществляет преобразование центрированных составляющих входного и выходного сигналов, т. е.

Теперь, переходя к дисперсиям случайных функций, получаем

или

Выразим y через параметры звена и входного воздействия x(t)

σ y Dy M[( y my )2 ] M[ y2 2my y my ]2

M[y2 ] 2my M[y] mу2 M[y2 ] 2mу2 mу2

56

Подставляем полученный результат (3.31) в выражение (3.30) и окончательно имеем

ческой линеаризации. Как видно из выражений (3.27) и (3.32), значения коэффициентов определяются характеристиками нелинейного звена y = F(x) и законом распределения входного воздействия p(x). Используя указанные выражения, можно рассчитать значения коэффициентов статистической линеаризации.

Cтатистическую линеаризацию нелинейного звена можно осуществить также исходя и из другого условия, отличного от (3.23) и (3.24). Это условие заключается в минимизации среднеквадратического отклонения функций y (t) и y(t). Другими словами, исходное нелинейное звено заменяется линейным, обеспечивающим минимум выражения,

[y (t) y (t)]2 p (y) dy min. (3.33)

-

Известно, что условие (3.33) может быть выполнено, если структура эквивалентного линейного звена будет такой же, как и в первом случае (см. рис. 3.4). Причем значение первого коэффициента статистической линеаризации kс0 остается прежним в соответствии с выражением (3.27). Второй коэффициент статистической линеаризации kс1определяется из выражения

и в предыдущем случае, определяется характеристикой нелинейного звена F(x) и законом распределения входного воздействия.

57

Иногда для повышения точности расчетов в качестве указанного коэффициента берется среднее арифметическое значение коэффициентов, полученных из выражений (3.32) и (3.34). Очевидно, что вычисление коэффициентов статистической линеаризации по исходным формулам (3.27), (3.32) и (3.34) в каждом конкретном случае решаемой задачи является довольно трудоемкой процедурой. К этому следует добавить трудозатраты, связанные с определением законов распределения случайных воздействий. Данные обстоятельства затрудняют практическую реализацию метода статистической линеаризации в исходном «классическом» виде. Поэтому для упрощения процедуры решения задач, связанных с анализом и синтезом нелинейных систем, значения коэффициентов kс0, kс1 и kс1 определены в соответствии с вышеприведенными зависимостями для ряда типовых нелинейностей, которые встречаются на практике, и для нормального закона распределения воздействий. Эти результаты представлены в специальных справочных материалах, где априори принимается допущение, что дифференциальный закон распределения величины х или плотность вероятности данной величины описывается выражением

Такое допущение основано на том, что нормальный закон распределения случайных воздействий имеет наибольшее распространение в природе и технике, что объясняется центральной предельной теоремой. В этом смысле нормальный закон является «предельным» законом, к которому стремятся другие законы распределения при равнозначности отдельных факторов, определяющих каждую из реализаций воздействия. В случае, если реальный закон распределения воздействий отличается от нормального, то это обстоятельство может стать причиной дополнительной погрешности. Однако при этом, как показывает опыт, величины коэффициентов kс0, kс1 и kс1варьируются незначительно. Значения коэффициентов статистической линеаризации для типовых нелинейностей, используемых для организации позиционного управления на практике, приведены в табл. 3.1. В случае, когда статическая характеристика нелинейного звена y = F(х) неоднозначна, т. е. для определения выходной величины y помимо значения

58

входной величины x необходимо также задаться значением ее производной x(1), например, характеристика двухпозиционного реле с зоной нечувствительности, формулы (3.27), (3.32) и (3.34) требуют уточнения с учетом значения величины x(1). В таких случаях определение коэффициентов статистической линеаризации осуществляется по известным уточненным формулам. Для решения же практических задач обычно пользуются уже готовыми выражениями для данных коэффициентов, полученными из формул, как, например, в п. 4 табл. 3.1.

После определения коэффициентов статистической линеаризации kc0 и kc1 методика исследования влияния случайного воздействия на нелинейную систему будет состоять в следующем.

Исходная нелинейная система описывается двумя передаточными функциями

где Ф0(р) – передаточная функция замкнутой системы для неслучайной (детерминированной) составляющей воздействия; Ф1(р) – передаточная функция замкнутой системы для центрированной случайной составляющей воздействия; Wfz(p) – передаточная функция участка системы «воздействие f – выходная величина z»; W(p) – передаточная функция линейной части системы W(p) = W0(p) W1(p).

Необходимо отметить, что проведенная таким образом линеаризация позволяет формально «спрятать» нелинейные свойства звена в выражения коэффициентов kc0 и kc1, которые нелинейно зависят от па-

раметров воздействия mx и х, т. е. kc0 = kc0 (mx, x) и kc1 = kc1 (mx, x). Это следует из выражений (3.27), (3.32) и (3.34) и наглядно проиллюстриро-

59