Материал: А27819 Лазарев В.Л. Робастое управление

Отсюда величина максимального среднего радиуса рассеяния (разброса) температуры y1(t) относительно среднего значения my1

равна величине среднеквадратического отклонения

y1max Dy1max 1,3 C.

Очевидно также, что реальная величина σy1 будет еще меньше.

Величина y1 после термообработки не должна быть ниже 72 С. Обычно на производстве при ведении технологического процесса ее завышают на 2–3 С, создавая своего рода запас – «защитный барьер» – от подобных случайных откликов. Очевидно, что в данном примере возможности данного «барьера» позволяют нивелировать влияние

0

случайных пульсаций температуры x(t) .

Следует иметь в виду, что при необходимости проведения более тщательного анализа исследованию также может быть подвергнута и корреляционная функция Кy( ), которая находится из выражения (2.20) на основании определенного в п. 4 выражения (3.20) для функции спектральной плотности Sy( ).

Для дополнительной иллюстрации изложенного в данном подразделе материала на рис. 3.2 приведен качественный вид графиков функций Кx( ) (рис. 3.2, а) и Sx( ) (рис. 3.2, б), характеризующих входное воздействие x(t).

Величина характеризует степень «турбулентности» случайного воздействия x(t). Чем больше величина , тем более интенсивно происходят пульсации температуры и соответственно расширяется спектральный состав воздействия: доля низкочастотных составляющих уменьшается и увеличивается доля высокочастотных составляющих. При уменьшении имеет место обратная тенденция.

51

а

K x ( ) Dx e

Dx

1

2

б

2

1

а– корреляционная функция; б – функции спектральной плотности

3.4.Преобразование стационарного случайного воздействия нелинейной системой

Необходимость рассмотрения такого вопроса обусловлена наличием большого класса нелинейных систем на производствах биотехнологической и смежных отраслей промышленности. В подавляющем большинстве случаев нелинейность систем обусловлена использованием в контурах регулирования технологических параметров различных позиционных звеньев (регуляторов) в силу их просто-

52

ты, надежности и невысокой стоимости. В первую очередь сюда относятся двух- и трехпозиционные датчики-реле температуры, давления, уровня, расхода, наличия потока и другие различных типов и модификаций, которые широко используются для автоматического регулирования. Помимо этого для подобных же целей промышленностью в большом количестве и ассортименте выпускаются разнообразные позиционные регуляторы и позиционные регулирующие приборные устройства (так называемые встроенные приборные регуляторы), а также исполнительные устройства. Общим для всех этих звеньев является то, что они описываются однозначной нечетной статической характеристикой (например, двух- и трехпозиционные реле как идеальные, так и имеющие зоны нечувствительности, звенья с насыщением и с зоной нечувствительности и др.). Поэтому дальнейшее рассмотрение поставленного вопроса будет ориентировано именно на такой класс нелинейных систем.

Особенность нелинейных систем состоит в том, что к ним неприменим принцип суперпозиции, что усложняет решение поставленной задачи. Для анализа работы нелинейных систем при наличии стационарного случайного воздействия используется метод статистической линеаризации.

Суть метода состоит в замене реального нелинейного звена эквивалентным по некоторым статистическим параметрам линейным звеном. В результате вся система может быть также представлена эквивалентной линейной системой, для анализа которой может быть применен математический аппарат исследования линейных систем, изложенный в подразд. 3.2.

В соответствии с вышесказанным структурную схему нелинейной системы автоматического регулирования представим в следующем виде (рис. 3.3). Она состоит из линейной части, в которую входит звено с передаточной функцией W0(p), и безынерционного нелинейного звена (НЗ). Свойства НЗ заданы статической характеристикой y F(x) . При этом необходимо понимать, что если, например, в системе используется какой-либо датчик-реле, то передаточная функция его измерительной части, являющейся инерционным линейным звеном (например, термобаллон манометрического термометра, термометра сопротивления и др.), представляется отдельным звеном с передаточной функцией W1(p). Данное звено входит в состав

53

линейной части, а сам релейный элемент, с помощью которого осуществляется тот или иной вариант позиционного регулирования, является указанным нелинейным безынерционным звеном (НЗ). Наличие случайного воздействия, например помехи f(t), действующей в различных точках контура управления, вызывает появление случайного воздействия x(t), которое может быть представлено в соответствии с формулой (3.1) в виде суммы двух составляю-

0

щих: x(t) mx x(t).

Рис. 3.3. Структурная схема нелинейной системы автоматического регулирования при наличии случайных воздействий

Соответствующий указанному выше воздействию случайный сигнал на выходе нелинейного звена y(t) также представляется в виде суммы математического ожидания my и центрированной случайной

Вполне понятно, что при прохождении случайного сигнала через нелинейное звено происходит искажение его закона распределения. Поэтому каждая из моментных характеристик сигнала y(t), в частности my и Dy, зависит в комплексе от таких же характеристик входного воздействия x(t). Данное обстоятельство и объясняет неприменимость принципа суперпозиции в нелинейных системах в отличие от линейных систем.

54

Идея статистической линеаризации состоит в том, чтобы заменить реальное нелинейное звено безынерционным линейным звеном, обеспечивающим на выходе такие же значения математического ожидания my и дисперсии сигнала Dy, как и у реального звена при том же входном воздействии x(t). Так как обе характеристики my и Dy не являются исчерпывающим описанием случайного сигнала, то очевидно, что такая замена является приближенной, а это обусловливает приближенность самого метода. Исходя из вышесказанного сигнал на выходе данного безынерционного линейного звена y (t) будет отличаться от реального сигнала y(t), но при этом будут выполняться условия

Очевидно, что выполнение приведенных выше условий возможно только в случае, если эквивалентное безынерционное звено представить в виде структуры, состоящей из двух параллельно работающих статических звеньев, имеющих разные коэффициенты передачи, одно из которых пропускает только среднее значение mx с коэффициентом

0

передачи kc0, другое – только центрированную составляющую x(t) с коэффициентом передачи kс1. Структурная схема такого эквивалентного звена приведена на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Структурная схема эквивалентного линейного звена

Определим выражения для коэффициентов передачи kс0 и kс1, исходя из сделанного представления. Из условия (3.23) следует

55