Материал: UMK_Umumiy_astronomiya_Fizika

§ 3.5. Kepler va Nyuton qonunlari

1600 yili Iogann Kepler Tixo Brage taklifi bilan Pragaga hamkorlikda ishlash uchun keladi. U yerda T. Brage tomonidan o`tkazilgan kuzatuv natijalari bo`yicha sayyoralar harakat jadvallari tuzishga kirishiladi. Kopernikning hisoblaridan foydalangan holda Kepler emperik yo`l bilan sayyoralarning harakatidagi qonuniyatlarini topadi va "Yangi astronomiya" (1609 y) kitobida ularni e`lon qiladi.

Keplerning 1-qonuni. Sayyoralar Quyosh atrofida elliptik orbita bo’ylab harakat qiladilar va ushbu ellips fokuslaridan birida Quyosh joylashadi.

Elliptik orbitaning katta o`qi AP=2a, markazi O va fokal masofasi OS = s bo`lsin. Orbitaning Quyoshga eng yaqin nuqtasi P - perigeliy, eng uzoq nuqtasi A - esa afeliy deyiladi, katta o`qning o`zi apsidlar chizig`i deb ham ataladi. P sayyora Quyosh atrofida harakatlanayotganda uning radius-vektor deb ataluvchi geliotsentrik masofasi o`zgarib turadi va vaqtning istalgan paytidagi sayyoraning orbitadagi vaziyati r radius-vektor va haqiqiy anomaliya , ya`ni sayyoraning harakatlanayotgan tomonga perigeliydan burchak uzoqlashishi bilan aniqlanadi. Orbitaning geometrik shaklini topish uchun orbita tenglamasini topishimiz kerak. Agar r - radius-vektor va -haqiqiy anomoliya bolsa, ular o`zaro quyidagi tenglama orqali bog`langan:

(3.3)

bu yerda e - orbitaning ekssentrisiteti. Sayyora orbita bo`ylab to`liq aylanib chiqishi uchun ketgan vaqt oralig`i yulduz yoki siderik aylanish davri deyiladi. Bu vaqt oralig`ida haqiqiy anomaliya 0 dan 360 gacha, radius-vektor esa eng kichik qiymat q dan ( = 0⁰ perigeliy masofasi q = SP) eng katta qiymat Q gacha ( = 180⁰ afeliy masofasi, Q = CA) o`zgaradi. Bunda perigeliy masofasi q = a – c, afeliy masofasi esa Q = a + c. Yerdan Quyoshgacha bo`lgan o`rtacha masofa Quyosh sistemasida masofa o`lchov birligi sifatida qo`llanilib, astronomik birlik (a.b.) deb ataladi. Zamonaviy o`lchovlar natijalariga ko`ra a₀ = 1 a.b. =149.6*10⁶ km ga teng.

Keplerning 2-qonuni. Sayyoralar elliptik orbitalar bo’ylab harakati davomida ular teng vaqtlar ichida teng yuzalar chizadi.

Quyosh va sayyora o’rtasidagi masofa o’zgaruvchanligi sababli sayyoraning tezligi ham o’zgaruvchan bo’ladi. Keplerning II qonuniga binoan, sayyora tezligi Quyoshga yaqinlashgani sari oshib undan uzoqlashgani sayin kamayadi.

Keplerning 3-qonuni. Sayyoralarning katta yarim o’qlari kublari nisbati, ularning orbita bo’ylab aylanishlarining siderik davrlari kvadratlari nisbatiga teng.

Agar bitta sayyoraning siderik aylanish davri T₁ va o`rtacha geliotsentrik masofasi a<sub>1</sub>, ikkinchi sayyora uchun mos ravishda T<sub>2</sub> va a<sub>2</sub> larga teng bo`lsa, unda , bundan . C butun Quyosh sistemasi uchun o`zgarmas kattalik bo`lib, Keplerning uchinchi qonuni konstantasi deb ataladi va uning qiymati qabul qilingan o`lchov birliklariga bog`liq. Agarda T ni Yerning aylanish davrlarida (yulduz yili) va a ni astronomik birliklarda (a.b.) olsak, unda Yer uchun T=1, a=1, bundan C=1, unda istalgan sayyora uchun T²=a³, bundan kuzatuvlardan olingan Quyosh atrofidagi osmon jismlari aylanish davrlaridan (yulduz yillarida) ularning o`rtacha geliotsentrik masofalarini (astronomik birliklarida) hisoblab chiqish mumkin bo`ladi.

Yuqorida keltirilgan qonunlar faqat sayyoralarning harakatiga tegishli bo‘lmay, balki ularning tabiiy va sun’iy yo‘ldoshlarga ham qo‘llasa bo‘ladigan qonunlardir. Ushbu qonunlarining kashf etilishi Nyuton tomonidan sayyoralarning harakatlarini boshqaruvchi kuchni aniqlanishiga sabab bo‘ldi. Keyinchalik Nyuton tomonidan 1687 yilda butun olam tortishishi qonuni kashf etilgan. Bu qonuning matematik ifodasi quyidagicha

(3.4)

bu erda m₁- va m₂- ixtiyoriy ikki jismning massasini, r- ular orasidagi masofani ifodalaydi, G - gravitatsion doimiy (). Keyinroq Nyuton, matematik yo‘l bilan Keplerning barcha qonunlarini keltirib chiqargan.

Bir jism ikkinchi jism atrofida aylanishi uchun tortishish kuchi ta’sirida ro‘y beradi, bunda jismning aylana, ellips, parabola yoki giperbola ko‘rinishidagi traektoriyalar bo‘yicha harakat qilishi ham Nyuton tomonidan aniqlangan hamda u Kepler birinchi qonunining umumlashgan ko‘rinishi deb nom olgan.

Keplerning II-qonuni adabiyotda yuzalar integrali deb ham ataladi. Sayyoraning radius-vektori vaqt oralig`iga to`g`ri proporsional bo`lgan yuzalar chizadi. Agarda vaqt oralig`ida sayyora P<sub>1</sub>P<sub>2</sub>, oraliqda esa P<sub>3</sub>P<sub>4</sub> yo`lni bosib o`tgan bo`lsin, xuddi shu vaqt oraliqlarida sayyoraning radius-vektori (P₁CP₂ sektorining yuzasi) va (P₃CP₄ sektorining yuzasi) yuzalarini chizadi, bunda . Sayyoraning radius-vektori vaqt birligida chizadigan yuzasi uni sektorial tezligi deyiladi. Yuqoridagi tenglikda sektorial tezlik ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun, Keplerning ikkinchi qonunini boshqacharoq, ya`ni sayyoraning sektorial tezligi o`zgarmas kattalikdir deb ham talqin etiladi. Keplerning ikkinchi qonuni harakat miqdori momenti (impuls momenti) saqlanish umumiy qonunining xususiy holidir. Ikki jism masalasining tenglamalari va mos ravishda y va x ga ko`paytirilib, natijalarini ayiraylik. Unda kuch markaziy ekanligi, ya`ni sababli kelib chiqadi. Agar qutb koordinatalar sistemasiga o`tsak, . Shuning uchun eng katta <sub>q</sub> tezlikga sayyora perigeliyda, eng kichik <sub>q</sub> tezlikga esa afeliyda ega bo`ladi.

Orbitaning geotsentrik shartini bilish uchun orbita tenglamasini bilishimiz kerak. Vektor e konstanta bo'lib orbita tekisligida yotganligi sababli biz uni ma'lum yo'nalish sifatida tanlaylik. Vektorlar r va e orasidagi burchak bo'lsin. Unda bu burchak “haqiqiy anomaliya” deyiladi (yana boshqa anomaliyalar ham mavjud. Ular peregeliy nuqtasidan boshlab o'lchanadilar). Skalyar ko'paytma xossasiga ko'ra

Oxirgi 2 natijani o’zaro tenglab, orbita tenglamasini topamiz:

Bu konik kesimning qutb koordinatalaridagi umumiy tenglamasi hisoblanadi. Kattalik e ekstsentrisitet deyilib, e=0 aylana, 0<e<1 ellips, e=1 parabola, e>1 giperbolaga to'g'ri keladi. Agar bo'lsa, unda r o'zining eng minimal qiymatiga erishib, u vektor e bilan ustma-ust tushadi. Demak, e perigeliy nuqtasi tomonni ko'rsatadi.

§ 3.6. Keplerning umumlashgan 3-qonuni

Biror  burchak tezlik bilan harakatlanayotgan Quyoshdan r masofada joylashgan sayyoraning tezlanishi quyidagicha aniqlanadi:

. (3.5)

Ikkita jism bir-birining atrofida harakatlanayotgan bo‘lsin. M massali markaziy jism (Quyosh) atrofida aylanayotgan m massali jismning (sayyora) nisbiy tezlanishi

(3.6)

bo‘lib, va tezlanishlar, aslida bir tezlanishning ikki xil ifodasi, binobarin . Shuning uchun yuqoridagi ikkita ifodani tenglab

(3.7)

yozish mumkin.

Bundan ma’lum kattaliklarni tenglikning bir tomonda qoldirsak:

(3.8)

Bunda biror jism ellips bo‘yicha harakatlanayapti deb qaralsa, ni ellipsning katta yarim o‘qi bilan almashtirish zarur bo‘ladi, ya’ni

(3.9)

Buni va jismlar atrofida, va katta yarim o‘qli ellipslar bo‘yicha harakatlanuvchi va massali jismlar uchun yozilsa:

; (3.10)

bo‘ladi, bu erda va ularning aylanish davrini xarakterlaydi. Oxirgi ifodadagi tenglamalarning o‘ng tomonlari tengligidan chap tomonlarini ham tenglab yoza olamiz:

yoki

. (3.11)

Topilgan ushbu ifoda Kepler uchinchi qonunining umulashgan ko‘rinishini ifodalaydi. U Nyuton - Kepler formulasi ham deyiladi. Xususiy holda va jismlarni Quyosh atrofida aylanuvchi sayyoralar deb qaralsa, - Quyosh massasini ifodalab, oxirgi tenglikning ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:

(3.12)

Agar ushbu ifodada va lar Quyosh massasi oldida juda kichikligidan, tashlab yuborilsa () u Kepler tomonidan aniqlangan

(3.13)

formulaga keladi.

Nyuton-Kepler formulasi qator masalalarni yechishda qo`llaniladi. Masalan, osmon jismlarining massalarini aniqlashda foydalaniladi:

,

T₁ va T₂ - Quyosh atrofida aylanuvchi ixtiyoriy ikki sayyoraning siderik davrlari, M_„ - Quyosh massasini, m₁ va m₂ - sayyoralar massalari, a₁ va a₂ lar esa ular orbitalari katta yarim o‘qlari.

Massani aniqlash uchun topilishi mo‘ljallangan sayyoraning yo‘ldoshi bilan Yer yo‘ldoshining harakati (davrlari va orbitalarining katta yarim o‘qlari) solishtiriladi, ya’ni

bunda T₁ va T_s – sayyoraning va Yer yo‘ldoshining aylanish davrlarini, m₁ va m_c - ular yo‘ldoshlari massalarini, a₁ va a_s esa, mos ravishda, orbitalari katta yarim o‘qlarini ifodalaydi.

Ko‘p hollarda sayyora massasiga nisbatan yo‘ldoshining massasi juda kichik bo‘lganidan m₁<<M; m_s<< deb olish mumkin, u holda sayyora massasi