Материал: UMK_Umumiy_astronomiya_Fizika

(3.14)

formuladan topiladi.

§ 3.7. Uch jism masalasi va uning chegaralangan holi

Koinotning hech qaysi qismida biror jism harakati to`la va aniq ravishda faqat ikki jism masalasi doirasida ifoda etila olinmaydi. Hamma gap ushbu aniqlikda va qanday vaqt muddati qaralayotganiga bog`liq, ya`ni u taqribiy bo`lsa-da kuzatuv ma`lumotiga biroz yaqinroq holi ham ba`zan amalda yetarli bo`lishi mumkin. Lekin juda ko`p hollarda ushbu ikki jismga qaysidir darajada ta`sir etayotgan uchinchi, bu ham yetmasa to`rtinchi jism ta`siri hisobga olinishi mumkin. Masalan, Quyosh sistemasi evolyutsiyasini o`rganish uchun 10 jism (Quyosh va 9 ta sayyora) masalasi qaralsa, ulardan biror sayyora orbitasi evolyutsiyasi o`rganilayotganda esa nisbatan kamroq jismlar (o`zi, uning yaqin qo`shnilari, Quyosh va bir-ikkita gigant sayyora) masalasi yechilishi yetarlidir.

Fazoda faqat uchta jism qaralib boshqa jismlar yo`q (yoki ta`siri sezilmas) degan farazda ularning dinamik evolyutsiyasini o`rganish – uch jism masalasi deb yuritiladi. Masalan, biror kometaning Quyosh sistemasidagi orbitasini o`rganish uchun dastlab o`zi, Yupiter va Quyosh bir masala sifatida qaraladi. Agar Oy harakati o`rganilmoqchi bo`lsa, masalaga Yer va Quyoshni kiritilishi dastlabki yechimni yetarli darajada bera oladi. Uch jism holidan boshlab bu masalalarning umumiy yechimi yo`q. Jismlar soni qanchalik ko`p bo`lsa, masala yechimi shunchalik qiyinlashib borib, aniqlik nisbatan kamayishi turgan gap. Shu sababli bunday masalalarni xususiy, amalda qo`llash yo`llari katta axamiyatga ega. Shulardan biri – uch jismning chegaralangan aylanaviy masalasi bo`lib, u osmon mexanikasida keng qo`llaniladi. Bunda uch jismdan birining massasi boshqalarinikiga nisbatan keskin kichik, qolgan ikki jism esa massalar umumiy markazi atrofida aylanaviy orbitalar bilan harakat qiladi deb olinadi. Ushbu shartlar, masalan kosmik apparat Yerdan uchirilib Oy tomon harakat qilayotgan paytda ancha qo`l keladi, chunki Oy orbitasi ekssentrisiteti juda kichikdir (0.055 ga teng). Quyosh sistemasidagi biror asteroidning uzoq muddatdagi orbitasi qaralayotganda Quyosh va Yupiter olinib, asteroid massasi hisobga olinmasa ham bo`ladi (Yupiter orbitasi ekssentrisiteti 0.048 ga teng).

Sayyora Quyosh ta’sirida harakatlanganida edi, uning traektoriyasi aniq Kepler qonuni bo‘yicha kuzatilar edi. Bunday harakat, ikki jism masalasi echimiga mos kelib, u chetlantirilmagan harakat deyiladi. Biroq, birorta ham sayyora faqat Quyoshninggina ta’sirida harakatlanmay, unga boshqa osmon jismlari ham ta’sir etadi va oqibatda, uning traektoriyasi aniq ellips, aylana, parabola yohud giperbola bo‘ylab harakatlana olmaydi. Jismlar harakatida Kepler qonunidagi chetga chiqish – chetlanishlar deyilib, uning haqiqiy harakati – chetlantirilgan harakat deb ataladi.

Yuqorida ta’kidlaganimizdek, sayyoralarning massalari Quyosh massasi bilan solishtirilganda juda kichik bo‘lganidan, ularning harakatidagi biror jismga beradigan chetlanishlarini hisoblash ham juda mushkul.

, (3.15)

sayyoraga Quyosh tomonidan ta’sir etuvchi kuchning yo‘nalish bo‘yicha beradigan tezlanishi

. (3.16)

ga ikkinchi sayyoraning yo‘nalishda beradigan tezlanishi esa

,

bu sayyoraning Quyoshga yo‘nalishda beradigan tezlanishi

.

Quyosh oladigan tezlanishni birinchi sayyoraga ko‘chirsak, u

bo‘lib, yo‘nalishga paralel bo‘ladi. va lar - sayyorani keplercha orbitadan chetlantiruvchi kuchlarning tezlanishlari bo‘ladi. Bundan ko‘rinishicha, chetlantiruvchi kuch, chetlanishni keltiruvchi jism tomonidan sayyoraga va Quyoshga ta’sir kuchlarining geometrik ayirmasidan iborat.

Chetlantiruvchi tezlanish umumiy holda chetlantiruvchi jismga, ya’ni ikkinchi sayyoraga tomon yo‘nalmaydi. Faqat birgina holda, Quyosh va chetlantiruvchi jism undan bir tomonda, bir to‘g‘ri chiziqda yotgandagina, chetlantiruvchi jism aniq chetlantiruvchi jism tomon yo‘naladi.

Ikki jism masalasidek uch va undan ortiq jismlar masalasida quyidagi tenglamalar sistemasini yechishimiz lozim:

(3.17)

bu yerda m_i – i- nchi jism massasi, r_i- jismlargacha bo’lgan masofa radius vektorlari.

Tenglamaning o’ng tarafida barcha jismlarning gravitatsion kuchlari joylashgan. Bu tenglama 2 ta jism uchun analitik yechimga ega, undan ko’proq holatlar uchun xususiy yechimlar mavjud. Umumiy holda, umumiy energiya, umumiy impuls va umumiy moment integrallari oson topilishi mumkin.

Uch jism masalasi bir nechta qiziqarli maxsus xususiy hollarga ega. Ma’lum bir holatlar uchun uchinchi jism qolgan ikki jismga nisbatan tinch holatda qolishi mumkin. Bunday nuqtalar Lagranj nuqtalari deyiladi va ular 5ta. Bu nuqtalar ichidaL4 va L5 lar nisbatan barqaror nuqtalardir. Shuning uchun, bu nuqtalarga yetib kelgan asteroidlar barqaror bo’lib, fizik bog’langan guruhlarni tashkil qiladilar. Bu guruhlarning nomi Troyanlar va Yunonlar deyiladi.

Uch jism masalasi umumiy holda yechimga ega bo’lmay, xususiy hollarda masala fizik jihatdan yetarlicha tahlil qilinishi mumkin. Shulardan biri uch jismning chegaralangan aylanaviy masalasidir.

Uch jismning chegaralangan aylanaviy masalasida massalari m₁ va m₂ bo`lgan jismlar inersiya markaziga nisbatan olingan (x,y) koordinatalar sistemasida harakatlarini qaraymiz. Bu holda – vektor-masofa, harakat tenglamasi esa: . Bunda – sistemaning gravitatsion potensiali, n - m<sub>1</sub> va m<sub>2</sub> massalarga ega bo’lgan jismlar sistemasining o`rtacha harakat miqdori, tenglamadagi oxirgi xad – Koriolis tezlanishidir. Lagranj ushbu differensial tenglamaning 5 ta xususiy yechimlarini topgan. Bu yechimlarga (x, y) tekisligida 5 ta mos nisbiy muvozanat nuqtalari to`g`ri kelib, ular Lagranj nuqtalari deyiladi. Bulardan uchtasi (L₁, L₂, L₃ lar) m₁ va m₂ jismlarni tutashtiruvchi to`g`ri chiziqda joylashgan. Qolgan ikkitasi (L₄, L₅) bu to`g`ri chiziqning yuqori va pastki yarim tekisliklarida bittadan shunday o`rin olganlarki, qaralayotgan uchta jism ikkita teng tomonli uchburchaklarni hosil qiladi. Boshqacha aytilganda, agar uch jism doimo bir to`g`ri chiziqda joylashib tura olsa, bu hol uchun tenglama yechimi aniq ma`lum bo’ladi va sistema barqaror deb xisoblanadi. Yoki, agarda ularning nisbiy vaziyatlari teng tomonli ikkita uchburchakni tashkil etsa, bu hol ham barqaror yechimiga egadir. Ushbu oxirgi yechimning Quyosh sistemasiga qo`llash maqsadida uning eng massiv ikkita jismi – Quyosh va Yupiterni olib, bu jismlar orasidagi masofaga mos kelgan ikkita teng tomonli uchburchaklarni chizsak, bunda kuzatuvlargan uchburchaklarning uchinchi uchlarida "troyanlar" va "greklar" nomli asteroidlarning ikki guruhi joylashgani aniqlandi. Yer va Oy masofasiga mos uchburchak uchlari kuzatilganida, bu yerlarda chang bulutlari mavjud ekani aniqlandi.

§ 3.8. Ko‘tarilishlar va pasayishlar

Yer sirtining turli qismlariga Oy va Quyoshning gravitatsion ta'siri ko'tarilishlarga olib keladi. Yerning sirtiga Oy va Quyoshning gravitatsion ta’siri dengiz va okean suvlarini ko’tarilishiga olib keladi. Oygacha bo‘lgan masofaga nisbatan Yer diametri ancha kichik bo‘lganidan Oy Yerning turli nuqtalariga turli kattalikdagi kuchlar bilan ta’sir qiladi. Natijada Yer sirtida ko‘tarilish va pasayish deb ataluvchi hodisaning sodir bo‘lishiga sabab bo‘ladi. Yer sirtining ko‘tarilish va pasayish hodisasi Quyosh ta’sirida ham kuzatiladi, Biroq bu ko‘tarilish va pasayishlar, Quyoshning uzoqligi tufayli, Oy ta’sirida bo‘ladigan ko‘tarilish va pasayishlarga nisbatan sezilarli darajada kam bo‘ladi.

3.7 – rasm.

Yer sirtida okean suvlarining ko‘tarilish va pasayishi yaqqol seziladi. Okean suvlari sathi balandliklarining o‘zgarib turishi sistemali hodisa bo‘lib, uning sathi taxminan 6,2 soat ko‘tariladi va keyingi 6,2 soat vaqt davomida pasayadi, so‘ngra yana ko‘tarilish boshlanadi. Okean suvi sathining bu xilda davriy ravishda ko‘tarilib va pasayib turishi ma’lum meridian uchun Oyning kulminatsiyada bo‘lishiga bog‘liq bo‘ladi. Shu meridianda yotib, Oy zenitda bo‘ladigan joyda ko‘tarilish kattaligi maksimum bo‘ladi. Bu joydan 90 narida yotuvchi nuqtalarda esa, pasayish maksimal qiymatga erishadi (**-rasm). Ma’lum bir joyda Oyning zenitdan ikki marta ketma-ket o‘tishi uchun ketgan vaqt oraligi 24^h52^m ekanligidan, shu joyda maksimal ko‘tarilish ham xuddi shunday davr bilan bo‘ladi. Bu davrning o‘rtacha Yer sutkasi (24 soat) dan 52 minutga ortiq bo‘lishiga sabab - Oyning Yer atrofida Yer aylanishi yo‘nalishi bilan bir xil yo‘nalishda aylanishidir. Biroq ko‘tarilishning maksimumi Erning Oy turgan tomondagi A nuqtadagina kuzatilmay, balki bu nuqtaga qarama- qarshi yotgan V nuqtada ham kuzatiladi. Buning sababi Oyning A nuqtadagi ta’siri Yer markazidagi O nuqtada yotuvchi shunday massali moddiy nuqtaga ta’siridan kuchliroq bo‘lib, natijada bu moddiy nuqta Oy tomon ko‘proq ko‘tariladi. Oyning V nuqtadagi moddiy nuqtaga ta’siri O nuqtadagi shunday massali moddiy nuqtaga ta’siridan kichik bo‘lgani sababli, V nuqta O nuqtaga nisbatan orqada qoladi (ya’ni Yer markaziga nisbatan ko‘tariladi). Shuning uchun ham ma’lum meridianda ko‘tarilish (yoki pasayish) Oyning kuyi va yuqorigi kulminatsiyalarida kuzatilib, 24^h 52^m: 2= 12^h26^m li davr bilan ro‘y beradi. Oy tomondan A, O va V nuqtalardagi birlik massalarga berilgan tezlanishlarning kattaliklari mos ravishda

(3.18)

bo‘ladi, u holda

yoki r>>R bo‘lgani uchun tenglama quyidagi ko‘rinishni oladi:

(3.19)

Bu ifoda ko‘tarilishni vujudga keltiruvchi kuch tezlanishi deb ataladi.

Oyga nisbatan Quyosh juda olisda bo‘lgani uchun Quyosh ko‘tarish kuchining kattaligi Oynikiga nisbatan 2,2 marta kichik bo‘ladi. Shuning uchun ham Quyoshning Yer sirtini ko‘tarishi alohida sezilarli darajada kuzatilmaydi. Yer sirtining ko‘tarilishi eng katta qiymatga to‘linoy va yangioy fazalarida erishadi. Chunki Oyning bu vaziyatlarida uning ko‘tarish kuchi Quyoshning ko‘tarish kuchi bilan bir xil yo‘nalishda bo‘lib ular bir-birgi qo‘shiladi. Oyning birinchi va oxirgi choraklarida esa aksincha, bu ikki osmon jismining ko‘tarish kuchlari bir-biriga tik yo‘nalib, Yer sirtining ko‘tarilishi minimal qiymat oladi.

Hisob-kitoblarga ko`ra bu hodisalar oqibatida suv sathi o`zining o`rta holatiga nisbatan 10-16 metrga ko`tarila oladi. Oy va Quyosh nafaqat suv sathiga, balki Yer atmosferasi va qobig`iga ham ta`sir qiladi. Xususan, Yer qobig`ining ko`tarilish amplitudasi bir necha o`n sm ga boradi. Yer ham o`z navbatida Oyga o`z ta`sirini o`tkazib, xuddi shunday xodisalarga olib keladi.

Yer markazidan d masofada Q nuqtada massasi M ga teng bo‘lgan jismning ko‘tarishi bo‘lsin. Q jism tomonidan beriladigan A nuqtada yuzaga keladigan potensial

, (3.20)

bu erda s A nuqtadan Q jismgacha bo‘lgan masofa.

3.8-rasm.

OAQ uchburchak uchun kosinuslar teoremasini qo‘llaymiz, s masofani boshqa tomonlar va z=AOQ orqali ifodalaymiz.

,

bu yerda r – A nuqtadan Yer markazigacha bo‘lgan masofa. Endi (3.20) formulani boshqadan yozamiz:

. (3.21)

Maxrajni Teylor qatoriga yoysak

.

bu erda

.

va yuqoridagi barcha shartlarni tashlab yoki bo‘lib quyidagini hosil qilamiz.

. (3.22)

Potensialning gradienti birlik massadagi kuch vektorini beradi. (3.22) ifodaning birinchi hadi nolga aylanadi, ikkinchisi esa masofaga bog‘liq emas va o‘zgarmasdir. U markaziy harakatni ifodalaydi. Uchinchi had esa r ga bog‘liq bo‘lgan kuch vektorini beradi. Bu ko‘tarish kuchining asosiy hadidir, u masofaning uchinchi darajasiga teskari proporsional. Ko‘tarilish kuch masofa ortishi bilan juda tez kamayadi. Shuning uchun Quyoshning massasi juda katta bo‘lishiga qaramasdan uning ta’sir kuchi Oyning ta’sir kuchiga qaraganda ikki martaga kamdir.

Biz (3.22) formuladagi uchinchi hadni quyidagi ko‘rinishda yozishimiz mumkin:

. (3.23)

bu erda

bo‘lib, u Doodson ko‘tarilish doimiysi deyiladi. Bu kattalik Oy uchun 2.628 m² s^-2 va Quyosh uchun 1.208 m² s^-2. z burchakni jismning zenit burchagi deb olamiz. Zenit burchakni kuzatuvchining kenglamasi, jismning soat burchagi va og‘ishi orqali ifodalash mumkin.

Bu ifodani (3.23) formulaga olib borib qo‘yamiz va ayrim algebraik soddalashtirishdan keyin

. (3.24)