Материал: Mekhanika_Ch1

Закон збереження імпульсу:

а) для абсолютно пружного удару

,

або в проекції на вісь ОХ, що збігається з лінією удару,

, (10.1)

б) для абсолютно непружного удару

. (10.2)

Закон збереження енергії:

а) для абсолютно пружного удару

, (10.3)

б) для абсолютно не пружного удару

, (10.4)

де ΔW величина механічної енергії куль, що перейшла в їхню внутрішню енергію. У випадку, якщо одна із куль (наприклад, із масою m₂) перед зіткненням знаходилася в спокої, то вирази (10.1), (10.2), (10.3 ) і (10.4) набудуть вигляду:

, (10.5)

, (10.6)

, (10.7)

. (10.8)

Проте досвід показує, що відносна швидкість тіл після удару не досягає свого колишнього значення. Це пояснюється тим, що немає ідеально пружних тіл і ідеально гладких повер­хонь. Крім того, системи реальних тіл не бувають абсолютно замкнутими.

У застосуванні до реальних тіл рівняння (10.5), (10.6), (10.7) і (10.8) можуть бути записані тільки з відповідними коефіцієнтами про­порційності:

, (10.9)

, (10.10)

, (10.11)

. (10.12)

Індекси при коефіцієнтах К означають: іпр - для імпульсу при пружному ударі; інепр - для імпульсу при непружному ударі; епр - для енергії при пружному ударі; енепр - для енергії при непружному ударі.

Оцінимо величину введених коефіцієнтів К для випадку, що реалізується в нашому лабораторному пристрої.

Система застосовуваних куль слабо взаємодіє з навколиш­німи тілами (через повітря, нитку підвісу і т. п.), тому "втрати" імпульсу й енергії при пружному ударі будуть незначними і ко­ефіцієнти К_іпр, К_інепр, К_епр повинні бути трохи меншими одини­ці. При непружному ударі у внутрішню енергію переходить зна­чна частина початкової кінетичної енергії і коефіцієнт К_енепр по­винен значно відрізнятися від 1. (Легко показати, що при m₁ = m₂ ідеальний кое­фіцієнт К_енепр= 0..5. Для цього потрібно розв'яза­ти спільно рівняння (10.10) і (10.12), враховуючи, що К_інепр=1). Довівши експери­ментально, що К_іпр, К_інепр, К_епр трохи менші за 1, а значення К_енепр значно відрізняється від 1, ми тим самим підтвердимо справедливість рівностей (10.9), (10.10), (10.11) і (10.12) (у межах похибок виміру), а отже підтверди­мо і закони збереження імпульсу й енергії при співударянні реа­льних тіл.

Зведемо вирази (10.9), (10.10), (10.11) і (10.12) до вигляду, зручному для обчислення коефіцієнтів К. Розглянемо рис.10.1, куля масою m₂ знаходиться в стані спокою, а масою m₁ - відведена від по­ложення рівноваги на кут α₁ (умовимося позначати кути до вза­ємодії куль через α , а після взаємодії - через β; індекси: 1 для першої кулі, 2 - для другої).

Куля 1 одержить потенціальну енергію

,

яка під час руху кулі перейде в його кінетичну енергію. В момент удару

,

звідки

.

Якщо кут α₁ малий (< 10°), то (при вимірі кута в радіанах) і тоді . Після удару куля 2 масою m₂ одержить швидкість u₂ і відхи­литься па кут β₂. Аналогічно до вищевикладеного можемо оде­ржати

.

Куля 1 після удару також відхилиться на деякий кут β₁. Тоді

.

Підставивши значення v₁, u₁ і и₂ в (10.9), (10.10). (10.11) і (10.12) і розв'я­завши рівняння відносно К, одержимо

,

10.2 Порядок виконання роботи

1. За допомогою терезів переконайтеся, що маси куль приблизно однакові.

2. Підвісьте на нитках дві кулі для одержання пружного удару. Відрегулюйте їх взаємне положення так, щоб удар був прямим і центральним.

3. Відхиліть праву кулю на кут α₁, прикріпивши її до електромагніту. Виміряйте і запишіть величину кута α₁ (у градусах) у таблицю з врахуванням похибки на нуль. Здійсніть пружний удар куль, відімкнувши живлення електромагніту. Визначте кут β₂ відхилення лівої кулі (з урахуванням похибки на нуль) і запишіть його значення в таблицю 10.1.

4. Дослід проведіть 5 разів. Результати вимірювань запишіть у таблицю.

5. Поверніть кулі, підвішені на нитках так, щоб одержати непружний удар ("липучками" один до одного). Відхиліть праву кулю на кут α₁, прикріпивши її до електромагніту. Занесіть значення кута α₁ до таблиці.

Таблиця 10.1

,

,

.

Якщо маси куль узяти приблизно однаковими (m₁ ≈ m₂ ), то кут відхилення β₁ , кулі масою m₁ буде дуже малим і ним можна знехтувати (β₁ = 0) Тоді одержимо

, (10.13)

, (10.14)

, (10.15)

. (10.16)

Обчислення коефіцієнтів К за формулами (10.13) ÷ (10.16), зіставлення їх значень із теоретичними для замкнутих систем і одержання певних висновків складає основу даної лабораторної роботи.

Рисунок 10.1

7. Здійсніть непружний удар куль. Визначте кут β₂ відхилення системи по лівій кулі (з врахуванням похибки па нуль) і запи­шіть його значення в таблицю.

8. Дослід проведіть п'ять разів, записуючи дані в таблицю.

9. За формулами (10.13), (10.14), (10.15) і (10.16) обчисліть значення коефі­цієнтів К за середніми значеннями кутів α₁ і β₂.

10. Оцініть похибки непрямих вимірювань коефіцієнтів К. (Розрахункові формули для цього одержіть відповідним методом для непрямих вимірювань).

11. Зробіть висновки про підтвердження законів збереження імпульсу й енергії у явищі, що вивчається. Висновки обґрунтуйте.