Материал: Lysenko_physics_lek_2

Тут r – стала, яку ми будемо називати коефіцієнтом тертя. Знак мінус обумовлений тим,

що сила F й швидкість υ спрямовані у протилежні сторони, внаслідок чого їх проекції на вісь X мають різні знаки.

частотою коливальної системи, тобто та частота, з якої коливалася б система за умови відсутності тертя. Таким чином, отримали диференціальне рівняння (31.4), що визначає поведінку коливальної величини x за наявності сили тертя. Це рівняння називають

диференціальним рівнянням загасаючих коливань.

2 Розглянемо загасаючі електричні коливання. Нехай у коливальному контурі, крім ємності C й індуктивності L , є активний опір R (рис. 31.1). Застосуємо закон Ома для

Отримане рівняння подібне до (31.4), яке описує механічні коливання, і має таку саму назву:

диференціальне рівняння загасаючих коливань. Величину β в (31.10), як і у випадку механічної системи, називають коефіцієнтом загасання; ω0 є власною частотою

контуру, тобто та частота, з якої відбувалися б коливання за умови відсутності активного опору. Таким чином, отримали диференціальне рівняння (31.10), що визначає поведінку коливальної величини q за наявності активного опору в коливальному контурі.

66

Із порівняння формул (31.3) і (31.9) випливає, що опір R відіграє роль коефіцієнта тертя r , індуктивність L – роль маси, величина, що зворотна ємності C , – роль коефіцієнта квазіпружної сили k .

§ 32 Розв’язання диференціального рівняння загасаючих коливань. Коефіцієнт загасання, декремент загасання, логарифмічний декремент загасання, добротність [5]

та частота, з якою коливалася б система за умови відсутності загасання). Величина x може бути механічним зміщенням частинки, електричним зарядом на конденсаторі й т.д.

67

2 Проведемо дослідження отриманого результату (32.6), з’ясуємо характеристики загасаючих коливань. Графік функції (32.6) наведений на рис. 32.1. Штриховими лініями показані межі, у яких знаходиться зміщення змінної величини x .

Відповідно до виду функції (32.6) величину x можна розглядати як гармонічне коливання частоти ω з амплітудою, що змінюється за законом

Величину (32.7) називають амплітудою загасаючих коливань. Верхня зі штрихових кривих на рис. 32.1 дає графік цієї функції, причому A0 є амплітудою в початковий момент часу.

Розглянемо послідовні найбільші відхилення величини x (вони відбуваються через період загасаючих коливань T ), наприклад, A′, A′′ , A′′′ і т.д. на рис. 32.1. Неважко з’ясувати, що відношення двох послідовних найбільших відхилень мають одне й те саме значення. Дійсно, коли A′ = A0 exp(-bt), то

і т.д. Це означає, що таке відношення може бути характеристикою загасаючого коливання.

Таким чином, відношення значень амплітуди, що відповідають моментам часу, що відрізняється на період, дорівнює

коливань T0 = 2p/ w0 . Зі збільшенням коефіцієнта загасання період коливань зростає. Для характеристики коливальної системи використовується також величина

яка називається добротністю коливальної системи.

З'ясуємо фізичний зміст коефіцієнта загасання β . Знайдемо час τ , за який амплітуда

зменшується в e раз. З визначення величини τ випливає, що e−βτ = e−1 , звідки βτ =1. Отже,

коефіцієнт загасання β є оберненим до проміжку часу τ , за який амплітуда зменшується в e разів (β = 1/ τ ). У цьому й полягає фізичний зміст коефіцієнта загасання.

З’ясуємо фізичний зміст логарифмічного декременту загасання λ . Виразивши відповідно до (32.8) β через λ і T , можна закон зменшення амплітуди з часом написати у

вигляді

A(t) = A0e−(λ /T )t .

68

Час τ , за який амплітуда зменшується в e раз, система встигає виконати Ne = τ /T коливань.

З умови exp(− λτ /T )= exp(−1) маємо, що λτ /T = λNe =1. Отже, логарифмічний декремент загасання є оберненим до числа коливань, за час яких амплітуда зменшується в e разів ( λ =1/ Ne ). У цьому полягає фізичний зміст логарифмічного декремента загасання.

Фізичний зміст добротності полягає у тому, що вона прямо пропорційна числу коливань, за час яких амплітуда зменшується в e разів (Q = π / λ = πNe ).

§ 33 Диференціальне рівняння вимушених коливань та його розв’язання [5]

1 Розглянемо механічну коливальну систему із загасанням, яка знаходиться під дією зовнішньої сили, що змінюється з часом за гармонічним законом:

Fx = F0 cosΩt . (33.1)

Під дією зовнішньої періодичної сили в системі виникають вимушені коливання. Знайдемо диференціальне рівняння, яке описує вимушені коливання. Для цього застосуємо другий закон Ньютона:

зовнішньої періодичної сили. Рівняння (33.2) описує вимушені коливання й називається

диференціальним рівнянням вимушених коливань.

2 Розглянемо вимушені електричні коливання у коливальному контурі з активним опором. Підключимо до коливального контуру з ємністю C , індуктивністю L й активним

(див. рис. 33.1). Під дією зовнішньої змінної напруги у контурі виникають вимушені коливання. Отримаємо диференціальне рівняння, яке описує процеси у контурі. Для цього застосуємо закон Ома для ділянки кола 1-3-2 (див. рис. 33.1):

ділянці кола таким співвідношенням:

Знак «+» обумовлений тим, що, коли струм I є додатним, заряд q2 = q збільшується ( q& > 0 ).

Підставимо у (33.4) співвідношення (33.5)-(33.6) з урахуванням (33.7) та (33.3) й отримуємо

Тут β – коефіцієнт загасання; ω0 – власна частота коливального контуру; Ω – частота

коливань зовнішнього джерела. Рівняння (33.10) описує вимушені коливання й називається

диференціальним рівнянням вимушених коливань.

Порівнявши диференціальне рівняння вимушених коливань для механічної системи (33.2) та для електричного коливального контуру (33.10), можемо зробити висновок, що вони є з математичної точки зору однаковими.

3 Знайдемо розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань (33.10) (такий самий розв'язок буде й для рівняння (33.2)).

Рівняння типу (33.10) називають неоднорідними диференціальними рівняннями з сталими коефіцієнтами. З теорії лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами відомо, що загальний розв’язок неоднорідного рівняння (тобто рівняння, у правій частині якого стоїть функція від t , яка не дорівнює тотожно нулю) дорівнює сумі загального розв’язку відповідного однорідного рівняння (тобто того ж рівняння, у якому права частина дорівнює тотожно нулю) і частинного розв’язку неоднорідного рівняння. Загальний розв’язок однорідного рівняння ми вже знаємо (розв’язок диференціального рівняння загасаючих коливань). Воно має вигляд

Залишається тепер знайти частинний (який не має довільних сталих) розв’язок рівняння (33.10). Будемо шукати цей розв’язок у вигляді

де ϕ – зсув фаз між зовнішньою напругою і викликаними нею коливаннями в контурі. Спробуємо з'ясувати, чи не існує таких значень A і ϕ , при яких функція (33.12) задовольняє рівняння (33.10). Для цього підставимо у рівняння (33.10) вираз (33.12) і його похідні:

− AΩ2 [cosϕcosΩt + sin ϕsin Ωt]− 2βAΩ[cosϕsin Ωt − sin ϕcosΩt]+ + ω20 A[cosϕcosΩt + sin ϕsin Ωt]= (Um / L)cosΩt .

Згрупувавши відповідним чином члени рівняння, отримаємо

70