Материал: Lysenko_physics_lek_2

§ 29 Биття [5]

1 Розглянемо випадок, коли два гармонічних коливання одного напрямку, які додаються, мало відрізняються за частотою. Процес, який при цьому виникає, можна розглядати як квазігармонічне коливання з пульсуючою амплітудою. Таке коливання називається биттям.

Позначимо частоту одного з коливань через ω , частоту іншого коливання через ω + ω . За умовою ω << ω . Амплітуди коливань будемо вважати однаковими й такими, що

Множник у дужках у формулі (29.1) змінюється набагато повільніше, ніж інший множник. Через умову ω << ω протягом часу, за який cosωt робить кілька повних коливань, множник у дужках майже не змінюється. Це дає підставу розглядати процес (29.1) як майже гармонічне коливання частоти ω, амплітуда якого змінюється за деяким періодичним законом. Множник, що знаходиться у дужках, не може виражати закон зміни амплітуди, тому що він змінюється в межах від − 2A до + 2A , у той час як амплітуда за визначенням є додатною величиною. Графік амплітуди подано на рис. 29.1б. Аналітичний вираз амплітуди має такий вигляд:

Цей вираз є періодичною функцію із частотою, яка у два рази перевищує частоту гармонічної функції, що знаходиться під знаком модуля, тобто із частотою ω (див. рис. 29.1б). Отже, частота пульсацій амплітуди – її називають частотою биття – дорівнює різниці частот коливань, що складаються.

Зазначимо, що множник 2Acos( ω/ 2)t не тільки визначає амплітуду, але й впливає на фазу коливання. Це проявляється, наприклад, у тому, що відхилення, які відповідають

62

Тут ex і ey – орти координатних осей X і Y , A і B – амплітуди коливань. Величинами x й y можуть бути, наприклад, зміщення матеріальної точки від положення рівноваги або

визначають координати частинки на площині XY . У випадку електричних полів величини (30.2) визначають координати кінця результуючого вектора напруженості поля E .

Частинка або кінець вектора E будуть рухатися по деякій траєкторії, вид якої залежить від різниці фаз обох коливань α . Вирази (30.2) фактично задають у параметричній формі рівняння цієї траєкторії. Щоб отримати рівняння траєкторії у звичайному вигляді, потрібно виключити з рівнянь (30.2) параметр t . З першого рівняння випливає, що

Розкладемо косинус у другому рівнянні (30.2) за формулою для косинуса суми: cos(ωt + α) = cosωt cosα − sin ωt sin α ,

підставляючи при цьому замість cosωt і sin ωt їх значення (30.3) і (30.4). У результаті отримаємо

Це рівняння за допомогою простих перетворень можна звести до вигляду

Ми отримали рівняння еліпса, осі якого повернуті відносно координатних осей X і Y . Орієнтація еліпса і його півосі залежать від амплітуд A і B й різниці фаз α .

2 Проведемо дослідження отриманого результату (30.5). Визначимо форму траєкторії для ряду окремих випадків.

1 Різниця фаз α дорівнює нулю. У цьому випадку рівняння (30.5) спрощується таким чином:

Звідси отримуємо рівняння прямої:

63

Результуючий рух є гармонічним коливанням уздовж цієї прямої із частотою ω й

(рис. 30.1б).

Y

a = - p2

B

A 1

a = + p2

Рисунок 30.2 – Траєкторія частинки при різниці фаз α = ±π / 2

Півосі еліпса дорівнюють відповідним амплітудам коливань. При рівності амплітуд A і B еліпс перетворюється у коло.

Випадки α = +π / 2 й α = −π / 2 відрізняються напрямом руху по еліпсу або колу. Якщо α = +π / 2 , рівняння (30.2) можна записати таким чином:

64

У момент t = 0 тіло знаходиться у точці 1 (рис. 30.2). У наступні моменти часу координата x зменшується, а координата y стає від’ємною. Отже, рух відбувається за годинниковою

стрілкою.

При α = −π / 2 рівняння (30.2) мають вигляд

x = Acosωt , y = B sin ωt .

Звідси робимо висновок, що рух відбувається проти годинникової стрілки. Зі сказаного випливає, що рівномірний рух по колу радіуса R з кутовою швидкістю ω може бути поданий як сума двох взаємно перпендикулярних коливань:

(знак плюс у виразі для y відповідає руху проти годинникової стрілки, знак мінус – руху за

годинниковою стрілкою).

3 У випадку, коли частоти взаємно перпендикулярних коливань відрізняються на дуже малу величину ω , їх можна розглядати як коливання однакової частоти, але з повільно змінною різницею фаз. Дійсно, рівняння коливань можна подати у вигляді

x = Acosωt , y = B sin[ωt + ( ωt + α)]

і вираз ωt + α розглядати як різницю фаз, що повільно змінюється з часом за лінійним законом. Результуючий рух у цьому випадку відбувається по повільно змінній кривій, яка буде послідовно набирати форми, що відповідає всім значенням різниці фаз від − π до + π .

4 Якщо частоти взаємно перпендикулярних коливань не однакові, то траєкторії результуючого руху мають вигляд досить складних кривих, які називаються фігурами Ліссажу. На рис. 30.3 і рис. 30.4 наведені приклади таких фігур. Іноді фігурами Ліссажу називають також і траєкторії (зокрема, еліптичні криві), які виникають при складанні взаємно перпендикулярних коливань однакової частоти.

Y Y

§ 31 Диференціальне рівняння загасаючих коливань [5]

У всякій реальній коливальній системі завжди є або сила тертя (у механічній системі), або активний електричний опір (у коливальному контурі), дія яких приводить до зменшення енергії системи. Якщо зменшення енергії не компенсується, то коливання будуть загасати.

1 Розглянемо механічні загасаючі коливання. У найпростішому випадку сила тертя

(наприклад, сила в’язкого тертя) пропорційна швидкості:

65