Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Философия математики: наследие двадцатого столетия

сразу и без сомнений, как мы видели в начале книги, куда стоит сейчас вернуться.

Уже было отмечено, что все высказывания необходимо рассматривать в их историческом и культурном контексте, а также в контексте проблем той эпохи. Хотя они – дети своего времени, не все так однозначно. Альтернативные и опровергающие друг друга заявления могут появляться в одно и то же время, тогда как близкие утверждениямогутотноситьсякразнымисторическимпериодам.

Многие из этих формулировок не похожи на обычные, традиционные философские ответы. Они, возможно, более понятны математикам или хотя бы вызывают в них впечатление чего-то знакомого. Эти высказывания используют математические термины своего периода вместе с понятиями, которые, может быть, типичны для культуры вообще (к примеру, «формы»). Но они не используют технические понятия логики (кроме обращения к логике в обыденном смысле), появившиеся только в двадцатом веке.

Если сегодня провести опрос современных математиков, то выяснилось бы, что превалируют те высказывания, которые ссылаются на форму или её синонимы типа «pattern»8.

Вышеприведенные цитаты расставлены в определенном нехронологическом порядке для того, чтобы указать некоторую тенденцию. Несмотря на то, что в каждый момент разные высказывания оспаривают друг с другом первенство, и можно убедиться в этом с помощью большего количества цитат, существует определенное смещение взглядов в последние два века от реалистического видения в сторону более формальную. «Реалистическое» надо здесь понимать не в смысле существования универсалий, а в отношении физического мира.

В девятнадцатом веке была широко распространена идея, что математика имеет дело непосредственно со структурой физического пространства и времени, и что она предоставляет парадигму чистого мышления, которое может давать важные сведения о физическом мире9.

8S. Mac Lane, Mathematics: Form and Function, Berlin, Springer, 1986; M.D. Resnik, Mathematics as a Sсience of Patterns, уже цит; Pattern (англ.) –

модель, образец, шаблон, форма, структура, трафарет и т.д. Очень многозначное слово. – Прим. переводчика.

9J.P. Burgess, G. Rosen, A Subject with no Object, Oxford, Oxford Univ. Press, 1997.

90

Взгляд математиков

Была, следовательно, распространена идея, что математика могла бы представлять собой модель для философии. В двадцатом веке на первый план вышли теория множеств и абстрактные пространства, которые не так-то легко постигнуть10.

В главном философском вопросе произошло смещение от гносеологической проблемы «как возможно познание» (Кант и категории пространства и времени) к метафизической проблеме того, что представляют собой эти «вещи», которые кажутся не от мира сего. Или же, если не интересна такая постановка, – к тому, как оказывается возможным, что подобные «вещи» находят a-posteriori отклик или применение в мире, и что поддерживает их существование при условии, чтоонибыли разработаныбезсоотнесениясреальностью.

На рубеже XIX – XX веков начали говорить о некоторой математической реальности, которая ставилась на место физической11. Она осталась в реалистических направлениях философии, а в других течениях, наоборот, исчезла.

Согласно некоторым мнениям, способ, которым подавалась абстрактная теоретико-множественная математика начала двадцатого века, представляет собой определенную причину расцвета ряда философий. Они были направлены, прежде всего, на новое истолковывание или на реконструкцию математики (интерпретация номинализма, или конструктивистская переработка, как увидим в дальнейшем), поскольку классическая версия казалась неприемлемой. На такой драматический взгляд на вещи можно возразить, что множества – не более чем определенный язык. Язык, который был разработан и принят также по причине удобства и уместности, но который характеризует только определенный исторический период и не содержит сути математики. Автомобиль остается автомобилем от первых Фордов до Феррари, даже если его облик изменился до неузнаваемости. И мы оказываемся с такой идеей на краю, противоположном позиции, исходящей из «языка, который проявляет бытие», и должны будем решать вопросы о природе языка в общем и языков науки в частности.

10J.P. Burgess, G. Rosen, A Subject with no Object, Oxford, Oxford Univ. Press, 1997.

11См. G. Lolli, La matematica: i linguaggi e gli oggetti, в Scienza e Filosofia. Saggi in onore di Ludovico Geymonat, под. ред. C. Mangione, Milano, Garzanti, 1985, pp. 213–240.

91

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Заявлять, что математика изменилась, есть уже определенная философия или философское обязательство. По крайней мере, если имеется в виду, что математика изменилась и изменяется таким образом, что не имеет смысла ставить перед собой вопрос о ее (неизменной) природе. Аналогичная проблема возникает в отношении любого эволюционирующего объекта. Каждая часть автомобиля может претерпевать резкие изменения. Мотор может располагаться сзади или спереди. Он может быть внутреннего сгорания или электрическим. Шины из сплошных становятся надувными. Руль необязательно должен быть круглым и вообще может отсутствовать. Назовем ли мы «автомобилем» транспортное средство, очень похожее по форме кузова на нынешние, но которое не имеет четырех колес и двигается на воздушной подушке? Что определяет, что есть автомобиль? Конечно, не этимология слова «автомобиль» или «самодвижущийся», так как это неправда, что автомобиль двигается сам по себе. В случае с математикой этимология сообщает нам только то, что математика есть изучение, деятельность, направленная на изучение, но чего – не уточняет.

Интересным представляется вопрос о том, могут ли философию интересовать изменчивые объекты. Чтобы сохранить сущность при изменении, можно было бы утверждать, что в математике изменились и обогатились методы, но объект, в глубине, тот же самый, представленный, например, числами. Подобная позиция не учитывает, однако, одно серьезное соображение по поводу математики. Нельзя утверждать, что вся абстрактная часть математики представляет собой некий результат определенных математических манипуляций над числами, хотя это есть важный практический и философский критерий (что вновь найдем в рассуждениях Гёделя и платонистов). Кроме этого, если новые методы позволяют получать результаты, которые не достигаются без них, трудно использовать слово «методы», которое имеет определенный упрощающий смысл. Эту проблему можно ставить и в технической плоскости. Так поступил Гильберт с его программой доказательства, что абстрактные построения были бы консервативным расширением арифметики, и в результате оказалось, что это не так. С другой стороны, существуют абстрактные разделы математики, как, например, геометрия, которые сами по себе имеют сущностное применение в физических теориях.

92

Взгляд математиков

Если нельзя сказать одной формулировкой, чем всегда была и всегда будет математика и, следовательно, что она представляет собой в метафизическом смысле, то почему используется одно и то же название «математика»? Возможно, причины этого – только социального, институционального характера. Для армии также используется то же самое название, хотя нынешние армии или армии завтрашнего дня, в которых не будет солдат, могут лишь с трудом быть сравнимы с древними легионами. Акцентирование внимания на историческом изменении математики до такой степени, что не было бы даже возможным найти однозначное определение для всех видов, в которых она до сих пор являлась, легко сочетается с релятивистской концепцией. Еще перед появлением сильной программы социологии науки были разработаны и обсуждены подходы, которые рассматривали математику как культурный феномен12. Такое видение порождает определенное философское течение, которое, как и социологическое, открывает дорогу исследованиям, применяющим не только философские инструменты.

Для спасения философии, конечно, можно утверждать также, что математика изменяется, и сильно, но всегда с одной и той же целью или намерением или же всегда под влиянием одной и той же познавательной потребности. Так, утверждение, что

математика есть арсенал форм, которые кодифицируют идеи, извлеченные из других видов человеческой деятельности и научных проблем

совместимо с разработкой форм в разные эпохи, на разных стадиях и под воздействием разных побуждающих мотивов.

[Греки] выражали числа и алгебраические операции только в геометрических терминах. В восемнадцатом веке математика проявилась, прежде всего, в развитии каждого аспекта анализа и методов вычислений. Это было отражением широких возможностей, которые этот прогресс давал для формальных манипуляций и многочисленных приложений. В дальнейшем исключительно полезные свойства голоморфных функций сделали из теории функций комплексного переменного определенный центр, вокруг которого почти вся математика могла вращаться…13

12R.L. Wilder, Mathematics as a Cultural System, Oxford, Pergamon Press, 1981.

13S. Mac Lane, Mathematics: Form and Function, уже цит., p. 407.

93

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Остается фактом, что для того, чтобы заниматься философией математики в актуальном смысле, а не только её историей, и при этом сказать что-то интересное, нужно, возможно, прежде всего рассматривать последние достижения математики.

Стоит напомнить тогда, что распространение теоретикомножественного подхода не является последней метаморфозой математики. Абстрактная математика продолжает оставаться значимой, прежде всего, в тесном симбиозе с физическими теориями, но сегодня излюбленной и первостепенной, со многих точек зрения, является математика вычислительная со своими проблемами, поставленными вычислительными машинами. Во второй половине двадцатого века появление ЭВМ стало единственным феноменом, который можно назвать реальной новинкой в математике и вокруг нее. Возникающие при этом проблемы, однако, не кажутся трагическими, не указывают на необходимость пересмотра концепций, за исключением, как увидим, мнения некоторых эмпиристов. Пожалуй, эти проблемы беспокоят по другим причинам – гуманистическим или духовным. Поскольку в настоящее время не видно серьезных, драматических вызовов, постольку, возможно, не только вопрос оснований математики перестает вызывать интерес, но также работа по ее интерпретации и реконструкции не очень нужна, и философия, в конечном счете, не имеет (новых) проблем, которыми могла бы заняться. Если философия математики томится без дела, то, возможно, это знак жизнеспособности математики.

Может быть, это и есть момент для выработки в отношении математики более спокойного подхода. Момент для того, чтобы оценить все то, что появилось за несколько веков революционных потрясений в математике, без фокусирования на одном только критическом аспекте попытаться воздать должное всем разнообразным граням этой дисциплины и ее философий. Эта позиция также представляет собой определенную философию, которую можно назвать, пожалуй, миролюбивой или синкретической. Однако предложенный подход не означает, что было бы достаточно дать только подробное описание имеющихся результатов. Как минимум, нужно попытаться исследовать причины дифференцированного появления, а затем интеграции и сосуществования различных точек зрения, которые ранее полагались исключительными или несовместимыми или принимались как сами собой разумеющиеся. Единственныйспособдляэтого– большеуглубитьсявматематику.

94