Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Новые тенденции

вать логику, этого Троянского коня, с помощью которого просачивается любимый философами фундаментализм. Есть сомнение, что это именно тот самый инструмент с завышенными (поскольку они малоизвестны) возможностями, который вызывает желание получить сверхчеловеческую мощь.

Полемическая необъективность в отношении математической логики вновь ставит вопрос о том, каковы могут или должны быть тогда другие инструменты в арсенале эпистемологии кроме (описания) рассуждений и чисто математических техник. Не кажется разумным также, критикуя математизированную эпистемологию, доходить до противоположной крайности и забывать или игнорировать все важные достижения метаматематики. Двадцатое столетие можно назвать веком языка. Значительные достижения демонстрируют логика, философия языка, аналитическая философия, лингвистика, вычислительная техника. История, психология мышления или когнитивные науки в целом тоже внесли свой вклад. Философия как таковая может предложить мудрость, отфильтрованную тысячелетиями дискуссий и анализа, что является весьма значительным вкладом, но она не предлагает никакого конкретного инструмента.

85

Философия математики: наследие двадцатого столетия

86

Взгляд математиков

8.ВЗГЛЯД МАТЕМАТИКОВ

Входе всей истории человечества методология математики всегда была первостепенной и исключительной заботой и беспокойством математиков. Они занимались этим с большей или меньшей интенсивностью в зависимости от потребностей каждого конкретного исторического периода. Моменты наивысшей активности – так называемые периоды точности (или строгости). Обычно в качестве примера, приводится вторая половина девятнадцато-

го века, а также конец семнадцатого века и еще раньше, времена Евклида1. Причина прямого вовлечения математиков в эту дея-

тельность очевидна – только они сами владеют в достаточной мере математикой, чтобы обсуждать ее проблемы2.

Необходимость личного участия вызвана тем фактом, что в каждую эпоху математики имели определенные проблемы, характерные для этого периода. У Пифагора были несоизмеримые величины и отношения, которые не поддавались измерению, в восемнадцатом веке волновала проблема сходимости бесконечных рядов, в девятнадцатом – вопрос непрерывности, затем – бесконечные множества и заботы о непротиворечивости. Стоит задаться вопросом, должна ли философия математики каждый раз откликаться и реагировать на подобные беспокойства? Для философии, созданной математиками, ответ положительный, и она, в общем, и является наиболее интересной. Важно, конечно, заниматься также

итрадиционными вопросами и обсуждать их возможные решения, но не нужно связывать себя этим. Лучшая философия – та, которая принимаетво внимание, преждевсего, состояние самой математики.

1В оригинале приводится следующая известная среди математиков шутка, использующая итальянское слово rigore (строгость) и латинское выражение rigor mortis (трупное окоченение): Rigor mortis есть результат строгости (rigore), привнесенной в математику современным формализмом (прим. научного редактора).

2То же самое можно было бы сказать относительно физики и других наук, но мы не уполномочены рассуждать по этому поводу.

87

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Существует форма философии математики, которая представляет собой просто список определенных тем, среди которых можно упомянуть, например: бесконечность, отношение дополнительности между дискретным и непрерывным, аксиоматический метод, вероятность. Порой подобная постановка отражает философское видение развития математики3, обусловленного естественным или рациональным ростом. В общем, однако, список образован просто понятиями, которые недавно стали достоянием математики. Например, сегодня мы не включим в такой список проблему континуума, которая в конце девятнадцатого века была животрепещущей темой, а добавим теорию вычислимости.

Если представление списка подобного рода не создано для иллюстрации какого-нибудь предвзятого философского тезиса, то речь идет о настоящей эпистемологии, то есть о критическом исследовании некоторых концепций, теорий или инструментов4. Проблема заключается в их выборе.

В определенные периоды обнаруживаются изменения в самом способе занятий математикой, и тогда нововведения подходят, можно даже сказать, напрашиваются, для обсуждения5. Так произошло, например, когда аксиоматический метод стал универсальным, что привело к появлению многих новых теорий. Этот период прошел под знаком скорее философии логики, чем философии математики. Одним из обсуждаемых понятий при этом стало понятие аксиомы. Чтобы ответить на вопрос, что такое аксиома, можно начать просматривать словари, в которых собрана мудрость прошедших времен. Типичный ответ будет «очевидное общепризнан-

3 Cм., к примеру, L. Brunschvicg, Les etapes de la philosophie mathematique (1912), Paris, A. Blanchard, 1981 или F. Gonseth, Les Mathematiques et la realite, уже цит., и Les Fondements des mathematiques (1926), Paris, A. Blanchard, 1974.

4Проведенное таким образом изложение см. в G. Lolli, Capire la matematica, Bologna, Il Mulino, 1996.

5Обратите внимание, к примеру, помимо содержания, на название ра-

боты H. Meschkowski, Wandlungen des mathematischen Denkens, Braunschweig, Vieweg, 1956; итал. перевод Mutamenti nel pensiero matematico, Torino, Boringhieri, 1963 (название работы можно перевести как Изменения в мате-

матическом мышлении – прим. переводчика).

88

Взгляд математиков

ное суждение»6. В некоторых философиях математики, однако, аксиомы представляются произвольными положениями или соглашениями. Современный математик, наоборот, сказал бы, что аксиомы – определения классов математических структур и что они совсем не очевидны и вовсе не произвольны. Логика, исследующего основания математики, интересуют, однако, не любые аксиомы, а те, которые определяют «концепции числа, множества, функции, то есть лежащие под всеми другими математическими концепциями»7. Это и есть так называемые основополагающие аксиомы, которые обсуждаются в основном в философии математики, и математик должен быть поставлен в известность об этом.

В другие моменты, при появлении новых математических теорий, создаваемых для формализации понятий, которые применялись ранее только неформальным и наивным образом, или для уточнения ненаучных понятий, проявляются неоднозначности и парадоксы, вскрывающие несостоятельность здравого смысла, которые и привлекают внимание. Типичный пример – теория вероятности. В общем, в этих случаях проблемы касаются не математики, а представлений, распространенных в обществе. Их обсуждение и корректировка есть обязательная задача образования, что полезно, кстати, не только обычным людям. Специалист также может получить выгоду из этого анализа, например, чтобы не оказаться сбитым с толку старыми и даже противоречивыми значениями обыкновенных слов, которые начинают использоваться в математике с новыми точными значениями.

Постоянные заботы математиков по поводу специфических трудностей, которые все время нужно преодолевать, еще ни разу не пошатнули их оптимизма в отношении самой науки и ее будущего. Математические решения, найденные по мере преодоления проблем, раз за разом возникавших на пути, не являются ответами на вопрос о том, что есть математика, и тем более не являются ответами в краткой и компактной форме. Они – новая математика. Высказывания же о природе математики всегда делались охотно,

6S. Battaglia, Grande dizionario della lingua italiana, Torino, Utet (можно сравнить с определением в словаре Ожегова С.И. Аксиома – положение, принимаемое без доказательств. – Прим. переводчика).

7S. Feferman et al., Does mathematics need new axioms?, уже цит.

89