Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

уДлнъ ЗнйкДь

оЛОУТУЩЛЛ П‡ЪВП‡ЪЛНЛ

Философия математики: наследие двадцатого столетия

96

Феноменология

Примем в рассмотрение философии математики, которые сегодня превалируют или, по крайней мере, получили сегодня важное развитие. Некоторые из них, среди которых одни еще живы, а к другим интерес ослабевает, являются наследием начала двадцатого века. Прочие могут рассматриваться либо как реакции на первые, либо же как ответы на вызовы современной математики.

Когда главные действующие лица – математики, выясняется порой, что они, прочитав какого-нибудь классика философии Х и будучи под впечатлением некоторых концепций или слов, считают полезным или просветительским использовать их. Возможно, будет преувеличением в подобных ситуациях говорить об х-изме как о направлении в философии. Образцовый случай, как увидим, так называемый «кантизм Гильберта». В других случаях математики полностью принимают философию Х.

Разнообразные позиции могут быть рассмотрены на фоне общей философской проблематики, которая обсуждалась в первой части. Классическое историческое разделение на реализм и номинализм базируется на отношении к универсалиям. Реализм утверждает существование универсалий, разделяясь затем на определенные разновидности в зависимости от последующих определений существования универсалий. Номинализм отрицает существование универсалий, признавая только индивиды или конкретные предметы, которые понимаются не как материальные объекты, но как единичные особенные сущности, которые к тому же, как кажется, не определены иначе как через определение от обратного, через отрицание абстрактного (но, возможно, настоящий материалист не заботится об онтологии).

Подобная дихотомия встречается и в философии математики, но речь не идет, собственно, о двух философиях. Имеются в виду, скорее, два направления, которые распознаются в разных философиях или которые содержат в себе разные философии, по-разному

97

Философия математики: наследие двадцатого столетия

характеризуемые при их возможной классификации с точки зрения проблемы существования математических объектов. Различные позиции могут, следовательно, в первом приближении размещаться внутри онтологической дихотомии, но не на сто процентов. Накладываются другие разделения, некоторые подходы ускользают от всех традиционных классификационных критериев. Математика разнообразна, и ее трудно вставить в рамки классификаций…

98

Реализм

1. НОМИНАЛИЗМ

Причиной, по которой мы не уделим много внимания номинализму как философии математики, является то, что его современные сторонники1 признают, что отрицание абстрактных сущностей, собственно и определяющее это направление, базируется лишь на философской интуиции, которая не может быть обоснована с помощью обращения к какому-либо более фундаментальному аргументу или доводу и, тем более, следовательно, с помощью анализа математики. Выбор номинализма не имеет ничего общего с реальностью математики, но имеет глубокие последствия для нее или имел бы, если бы математики им руководствовались. Однако этого не происходит (по крайней мере явно и последовательно).

Так как математические рассуждения изобилуют абстрактными понятиями, то у номиналиста есть выбор либо объявить эти рассуждения пустой, бессодержательной фантазией, иллюзией типа астрологии, либо взять на себя непростую обязанность показать, что за обманчивой наружностью таятся значимые высказывания, приемлемые с точки зрения номиналиста. Предприятие нелегкое как в принципиальном плане (представьте, если захотелось бы сделать нечто похожее для астрологии), так и с точки зрения технических трудностей. Нельзя ограничиваться арифметикой, нужно обязательно взяться и за наиболее абстрактные и продвинутые разделы математики и переписать их, спасая то, что возможно спасти, сохраняя при этом номиналистическую точку зрения. Номиналисту необходимо провести больше математической работы по сравнению с его коллегами. Только конструктивистам, пожалуй, нужно проделать, как увидим, не меньший объем работы, но они

1 N. Goodman, W.V. Quine, Steps towards a constructive nominalism, Journal of Symbolic Logic, 12, 1947, pp. 105–122; итал. перевод Verso un nominalismo costruttivo, in La filosofia della matematica, под ред. C. Cellucci, Bari, Laterza, 1967, pp. 269–298. Первый автор – Nelson Goodman, а не уже цит. Nicholas D. Goodman.

99