Материал: LS-Sb90434
Применив к вариантам табл. 7.3 отношение Парето, определим, что в случае доходов неэффективным является вариант 4, а в случае потерь – вариант 1. Для эффективных вариантов найдем худшие значения полезности
(min Ui) или потерь (max Li) соответственно. Из данных в правых столбцах табл. 7.3, видно, что в случае доходов maxmin Ui достигается в варианте 3, который и является оптимальным. В случае потерь оптимален вариант 4, так как в нем достигается minmax Li.
|
|
|
|
|
|
Таблица 7.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
|
Ситуации |
|
min Ui |
|
max Li |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|||
1 |
70 |
50 |
60 |
80 |
50 |
|
– |
2 |
40 |
60 |
100 |
90 |
40 |
|
100 |
3 |
60 |
70 |
80 |
110 |
60 |
|
110 |
4 |
70 |
50 |
50 |
80 |
– |
|
80 |
Критерий оптимизма-пессимизма, или критерий Л. Гурвица позволяет преодолеть некоторый пессимизм метода А. Вальда путем введения некоторого
коэффициента , позволяющего |
использовать |
оценку уровня оптимизма- |
пессимизма лица, принимающего решение. При |
= 1 критерий Гурвица пре- |
|
вращается в критерий А. Вальда, |
а при = 0 – |
в критерий, характеризуемый |
крайне оптимистическим (экстремальным) выбором «лучшего из лучших». При использовании этого критерия оптимальна альтернатива, у которой максимизи-
руемый показатель определяется выражением max [ min Uij + (1 – |
) ×max Uij]. |
В случае потерь это выражение принимает вид min [(1 – ) min Lij + |
max Lij]. |
Применим рассмотренный метод для выбора оптимального варианта по данным, приведенным в табл. 7.2. Как и в предыдущих примерах, исключим неэффективные альтернативы 4 или 1. Примем = 0.8. Для эффективных ва-
риантов посчитаем значения |
min Uij + (1 – ) max Uij (в случае оценки по- |
лезности), или (1 – ) min Lij + |
max Lij в случае оценки потерь. Результаты |
приведены в табл. 7.4. Оптимальной в случае полезности оказывается альтернатива 3, в случае потерь – 4.
Результат принимаемых решений часто оценивается не в терминах доходов или потерь, а учитывается сожаление ЛПР о недополученном доходе или излишних потерях. В таких случаях применяется критерий минимаксного сожаления (критерий Л. Сэвиджа). Сожаление для i-й альтернативы в j-й ситуаци рассматривается как разница между лучшим результатом среди всех альтерна-
26
тив в данной ситуации и результатом для i-й альтернативы в той же ситуации. Лучшей в смысле рассматриваемого критерия признается альтернатива с минимаксным сожалением, т. е. критерий Сэвиджа основан на той же философии, что и критерий Вальда, но использует при этом оценку сожаления.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 7.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ситуации |
|
min Uij + |
(1 – |
) min Lij + |
||
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
||||
+ (1 – ) max Uij |
+ |
max Lij |
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||
1 |
70 |
50 |
60 |
80 |
56 |
|
– |
|
2 |
40 |
60 |
100 |
90 |
52 |
|
88 |
|
3 |
60 |
70 |
80 |
110 |
70 |
|
100 |
|
4 |
70 |
50 |
50 |
80 |
– |
|
74 |
|
Рассмотрим пример использования метода Сэвиджа для вариантов, описываемых табл. 7.3. Как и в предыдущих примерах, применив отношение Парето, определим, что в случае доходов неэффективным является вариант 4, а в случае потерь – вариант 1.
Составим таблицу сожаления rij для случая, когда исход УР оценивается в терминах полезности (табл. 7.5). Оптимальным в смысле критерия Сэвиджа является вариант 3, у которого максимальное значение функции сожаления принимает минимальное значение (minmax ri = 20).
|
|
|
|
|
Таблица 7.5 |
|
|
|
|
|
|
Вариант |
Значения функции сожаления |
Максимальное значение |
|||
УР |
|
в ситуации |
|
функции сожаления |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
max ri |
1 |
0 |
20 |
40 |
30 |
40 |
2 |
30 |
10 |
0 |
20 |
30 |
3 |
10 |
0 |
20 |
0 |
20 |
Для случая, когда исход УР оценивается в терминах потерь, значения функции сожаления представлены в табл. 7.6. Оптимальными в смысле критерия Сэвиджа являются варианты 3 и 4, так как у них максимальное значение функции сожаления принимает минимальное значение на множестве рассматриваемых вариантов (minmax ri = 30).
|
|
|
|
|
Таблица 7.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
Значения функции сожаления |
Максимальное значение |
||||
|
в ситуации |
|
функции сожаления |
|||
УР |
|
|
||||
1 |
2 |
3 |
4 |
max ri |
||
|
||||||
2 |
0 |
10 |
50 |
10 |
50 |
|
3 |
20 |
20 |
30 |
30 |
30 |
|
4 |
30 |
0 |
0 |
0 |
30 |
|
27
Отметим еще раз, что при оценке исхода принимаемых решений и в терминах доходов, и в терминах потерь, оптимальным в смысле Сэвиджа является вариант, при выборе которого достигается минимаксное значение сожаления.
7.2.Порядок проведения занятия
1.Используя известные критерии принятия УР в условиях риска и неопределенности, найти оптимальные варианты УР для предложенных преподавателем ситуаций.
2.Оформить результаты и сформулировать выводы в виде резюме.
Занятие 8. АНАЛИЗ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ ВЫБОРА
Цель занятия: анализ свойств функции выбора в реальных ситуациях принятия УР.
8.1. Общие сведения
ЛПР осуществляет выбор на множестве вариантов на основе сформировавшейся у него системы отношений на этом множестве. Система отношений ЛПР непостоянна даже в одинаковых ситуациях, поэтому и результат выбора может быть разным, и по нему не всегда можно определить логику выбора, его причины.
Суть процесса выбора состоит в выделении из множества альтернатив A некоторой его части C(A). Отображение, сопоставляющее каждому A его подмножество C(A) A, называется функцией выбора C (от англ. choice – выбор). Функция выбора формализует взаимную зависимость выборов C(A) при взаимосвязанных ситуациях выбора и является внешним описанием процесса выбора. Функции выбора, характеризующие рациональное поведение ЛПР,
обладают некоторым набором свойств. |
|
|
Условие наследования (Н) состоит в том, |
что альтернативы, выбранные из |
|
исходного множества A, будут выбраны и из |
подмножества A′ |
A, в которое |
вошли и выбранные альтернативы, т. е. если A′ |
A, то C(A′) C(A) |
A′. |
Условие строгого наследования, или константности остаточного выбора (К), как следует из названия, является несколько более строгим, а именно: из
A′ A и C(A) A′
следует C(A′) = C(A) A′.
Условие независимости от отвергнутых альтернатив (О) подразумева-
ет, что выбор из подмножества A′ A, содержащего все альтернативы, вы-
28
бранные из A, будет совпадать с выбором из исходного множества, т. е. если
C(A) A′ A, то C (A′) = C (A).
Условие согласия (С) требует, чтобы альтернативы, выбранные из каждого подмножества Ai, были бы выбраны и из объединения этих подмно-
жеств, т. е. C (Ai) C ( Ai).
Условие независимости выбора от пути (КС) выполняется в том случае, если выбор из объединения множеств совпадает с выбором из объединения
выборов, сделанных из каждого множества в отдельности, т. е. C(A1 A2) =
= C(C(A1) C(A2)).
Условие сумматорности (СМ) предполагает, что выбор из объединения множеств равен объединению выборов из каждого множества в отдельности,
т. е. C (A1 A2) = C(A1) C(A2).
Условие мультипликаторности (МП) предполагает, что выбор из пере-
сечения множеств совпадает с пересечением выборов, т. е. C(A1 |
A2) = C(A1) |
C(A2). Наконец, условие монотонности (М) A1 A2 C(A1) |
C(A2), т. е. |
выбор из более широкого множества включает в себя выбор из его части, является более широким.
Следующие свойства функций выбора являются естественным обобщением рассмотренных в предыдущем разделе свойств отношений. Функцию
выбора называют: рефлексивной, если C(x) |
= ; антирефлексивной, |
если |
||||
C(x) = x; полной, если C(x) |
для всех X |
; транзитивной, если [C(X1 |
X2) = |
|||
= C(X1) |
, C(X2 X3) = C(X2) |
] |
C(X1 |
X3) = C(X1); ацикличной, если |
||
[C(Xk |
Xk+1) = C(Xk) |
, (k = 1, n 1)] |
X1 |
Xn. |
|
|
В реально используемых функциях выбора некоторые из рассмотренных свойств могут отсутствовать, в других имеются некоторые их комбинации. Чаще всего используемые функции выбора обладают свойствами наследования; наследования и согласия; наследования, согласия и независимости от отбрасываемых вариантов. Такие функции выбора называют классическими.
Функция выбора может быть наглядно представлена в виде хорошо известной турнирной таблицы (табл. 8.1).
Используя такую таблицу, легко выяснить, обладает ли описываемая ею функция выбора основными свойствами рациональности. Для этого исследуем, как влияют изменения в составе множества альтернатив на результаты
29
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 8.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Очки |
1 |
х |
П |
В |
В |
П |
Н |
В |
В |
В |
В |
|
20 |
2 |
В |
х |
Н |
Н |
Н |
П |
Н |
П |
В |
Н |
|
18 |
3 |
П |
Н |
Х |
П |
В |
В |
Н |
Н |
П |
П |
|
17 |
4 |
П |
Н |
В |
х |
П |
В |
Н |
В |
В |
Н |
|
17 |
5 |
В |
Н |
П |
В |
х |
П |
Н |
В |
П |
П |
|
16 |
6 |
Н |
В |
П |
П |
В |
х |
П |
В |
П |
В |
|
16 |
7 |
П |
Н |
Н |
Н |
Н |
В |
х |
П |
В |
В |
|
15 |
8 |
П |
В |
Н |
П |
П |
П |
В |
х |
Н |
П |
|
15 |
9 |
П |
П |
В |
П |
В |
В |
П |
Н |
х |
В |
|
15 |
10 |
П |
Н |
В |
Н |
В |
П |
П |
В |
П |
х |
|
14 |
выбора. Легко убедиться, что удаление из таблицы альтернатив, соответствующих строчкам (и столбцам) 3–5, приводит к изменению состава лучших альтернатив, занимающих первые два места. Это означает, что для данной функции выбора не выполняется условие наследования. Удаление из таблицы пяти последних альтернатив также приводит к изменению состава лучших, что свидетельствует о невыполнении условия независимости от отвергнутых альтернатив. Аналогично можно рассмотреть выполнимость и других свойств функции выбора и сделать вывод о рациональности ЛПР, работа которого описана данной таблицей.
8.2. Порядок выполнения занятия
1.На основе анализа предложенной преподавателем статистики, отражающей практику осуществления выбора некоторым ЛПР, определить, какие основные свойства функции выбора выполнены.
2.Определить, является ли поведение ЛПР рациональным; если нет, показать, в чем выражается нарушение рациональности.
3.Сформулировать результаты и обосновать выводы в кратком резюме.
30