Материал: LS-Sb90434

отношением пар альтернатив или отображением множества A в некоторые порядковые или числовые шкалы. Вторая определяет правило , указывающее, как при предъявлении на вход процедуры выбора альтернативы a A найти С A, используя структуру .

Пусть структура задана отображением множества A в некоторую шкалу, имеющую смысл «лучше-хуже», а правило – экстремизация (для определенности – максимизация) (a) на множестве A. Такой механизм выбо-

ра называется скалярно-оптимизационным.

В случае парнодоминантного механизма выбора структура задается на множестве вариантов A бинарным отношением D, являющимся строгим или нестрогим предпочтением, а правило выбора записывается следующим образом: Y = {y A yDa , a A}, т. е. оптимальным по этому правилу признается вариант, победивший все остальные варианты, или, по крайней мере, не уступивший ни одному из них. Очевидно, правило очень жесткое и трудно реализуемое практически.

В обоих случаях структура задает для каждого варианта или для отношения пары вариантов скалярную оценку. Часто для выбора необходимо учитывать совокупность свойств вариантов, свести которую к скалярной оценке затруднительно. В этом случае структура задается в виде n > 1 отображений i(a) множества A, т. е. в виде вектор-функции (a) = ( 1(a), …, n(a)). Пра-

вило в данном случае имеет смысл векторной оптимизации функции (a), понимаемой как выделение из A множества всех вариантов, оптимальных по Парето в смысле векторного критерия . Оптимальные по Парето варианты часто называют паретовскими, парето-оптимальными или эффективными.

Последний термин характеризует тот важнейший факт, что парето-оптимальное решение будет оптимальным при любой формулировке вектор-функции (a). Реализуемый в таких условиях механизм называют векторно-оптимизационным.

Рассмотренные механизмы выбора являются классическими, на их основе порождены разнообразные «неклассические» механизмы выбора. Эти механизмы используют некоторую дополнительную информацию, позволяющую или избежать пустоты выбора, или сузить множество выбранных паретовских вариантов.

Турнирный выбор представляет собой видоизменение парнодоминантного, используя вместо одного отношения D слабого порядка двух отношений –

16

строгого порядка D1 и эквивалентности E. Если на паре вариантов a, b определе-

но отношение aD1b, то вариант a получает вес, например, 2, а вариант b – вес 0. Если aEb, то оба варианта получают вес 1. Отношения определяются на всех парах вариантов a, b A. Правило выбора : для каждого варианта определяется сумма весов и лучшим признается вариант с максимальным суммарным весом (максимальной суммой очков). Это правило предполагает изначальное равенство всех рассматриваемых вариантов, так как оценка отношения не зависит от объектов этого отношения.

Большая группа механизмов используется в случае, когда выбор осуществляется по вектор-функции (a) = ( 1(a), …, n(a)). Механизмы совокуп- но-экстремального и мажоритарного выборов исходят из предположения о равноценности для ЛПР всех компонент i(a). В первом механизме в число лучших вариантов включаются те, которые имеют лучшую оценку хотя бы по одному показателю, т. е. лучшее значение хотя бы одной компоненты i(a).

При мажоритарном выборе лучшим считается вариант, имеющий максимальное число лучших оценок.

Лексикографический механизм выбора основан на предположении о неравноценности для ЛПР составляющих вектор-функции (a) = ( 1(a), …, n(a)) и предусматривает выбор варианта по отношению лексикографии L.

Если вариантов, лучших по самому важному показателю, несколько, а требуется выбрать только один, процедура продолжается путем выделения вариантов, превосходящих остальные по следующему показателю, и так далее.

В механизме взаимных уступок вводится множество оценок i(a), имеющих смысл уступки, которую ЛПР готов сделать по этому показателю для того, чтобы ввести в рассмотрение следующий по важности показатель. Механизм выбора реализует отношение лексикографии, но на каждом шаге сравнение вариантов осуществляется с учетом уступки i.

Механизм выбора по взвешенным показателям, или выбора на основе ад-

дитивной функции полезности, предусматривает приписывание составляющим i(a) весовых коэффициентов i 0, характеризующих полезность (важность)

этих составляющих с точки зрения ЛПР. Функция выбора образуется вариантами с максимальным значением полезности, откуда и второе название метода.

17

4.2.Порядок проведения занятия

1.Применительно к предложенным ситуациям принятия УР определить адекватные механизмы выбора.

2.Провести необходимые для использования принятого механизма выбора измерительные процедуры.

3.Осуществить выбор оптимального варианта УР с использованием принятого механизма выбора и полученной в п. 2 информации.

4.Сформулировать выводы в виде рекомендаций для ЛПР.

4.3.Пример задач, предлагаемых для рассмотрения на занятиях

Фирма в которую Вы поступили на работу, предполагает переехать в новый офис. Риелтер предложил 11 вариантов решения задачи.

Таблица 4.1

В результате предварительного анализа и консультаций были определены 4 показателя для оценки вариантов. Приглашенные эксперты дали оценки значений этих показателей для каждого варианта в интервальной порядковой 10-балльной шкале (табл. 4.1).

Из Вашего резюме руководство фирмы знает, что Вы изучали современные методы принятия решений. Советом директоров Вам предлагается продемонстрировать применение этих методов для решения данной задачи и доложить результаты на заседании Совета с необходимыми пояснениями.

Занятие 5. МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ

Цель занятия: изучение метода анализа иерархий и приобретение навыков его использования для принятия УР.

18

5.1. Общие сведения

Метод анализа иерархий (МАИ) был предложен американским ученым Т. Саати. Суть метода состоит в формировании системы иерархии критериев и в агрегированном калькулировании оценок альтернатив, получаемых на различных уровнях иерархии с учетом относительной приоритетности критериев. Этот метод позволяет расчленить проблему на элементарные компоненты, что соответствует познавательной манере мышления ЛПР, и учесть влияние не только количественных, но и качественных компонентов.

В соответствии с МАИ процедура выбора состоит из нескольких этапов, на каждом из которых оцениваются некоторые отношения. В отличие от традиционного способа оценки отношений в МАИ используется специальная шкала, характеризующая степень превосходства rij объекта ai над объектом aj, при этом rij = 1/rji. При равноценности, по мнению ЛПР, объектов ai и aj

значения rij = rji = 1. В случае слабого превосходства объекта ai над объектом aj принимают rij = 3, а rji = 1/3. Если объект ai существенно важнее объекта aj, то rij = 5 и rji = 1/5, явно важнее rij = 7 и rji = 1/7, при абсолютном пре-

восходстве rij = 9 и rji = 1/9. Допускается использовать и промежуточные

(2, 4, 6, 8) значения rij и, соответственно, rji. Полученные оценки сводятся в матрицу R, для которой находится собственное значение, компоненты которого i вычисляются как корень n-й степени из произведения величин rij в строке i матрицы. Нормированные значения компонент собственного вектораi и являются оценками важности объектов.

На первом этапе задача принятия УР представляется в виде иерархической структуры с несколькими уровнями: цели – показатели (критерии) – альтернативы. На втором проводятся попарные сравнения элементов каждого уровня с учетом описанных правил оценки отношений. На третьем этапе вычисляются оценки важности элементов каждого уровня как компоненты собственного вектора соответствующей данному этапу матрицы. Наконец, на четвертом этапе вычисляется количественная оценка каждого варианта УР и определяется лучший.

Рассмотрим пример использования МАИ. Для размещения производственной площадки предприятия предложены альтернативы A = ( a1, a2, a3). Для оцен-

19

ки этих альтернатив используются три показателя – x1, x2 и x3. Оценку полезности показателей назначенные ЛПР специалисты представили в виде табл. 5.1.

Затем специалисты провели сравнение альтернатив по каждому показателю. Результаты этого сравнения представлены в табл. 5.2.

Для сравнения альтернатив по всем показателям с учетом полезности последних проведем простые вычисления:

C(a1) = 0.65 · 0.69 + 0.22 · 0.07 + 0.13 · 0.68 = 0.552;

C(a2) = 0.65 · 0.19 + 0.22 · 0.65 + 0.13 · 0.09 = 0.278;

C(a3) = 0.65 · 0.12 + 0.22 · 0.28 + 0.13 · 0.23 = 0.17.

Оценка величины C(ai) оказалась лучше для первой альтернативы, которую и следует считать лучшей в соответствии с подходом МАИ.

Отметим один важный аспект МАИ, связанный с возможностью оценки транзитивности отношений на множестве альтернатив и, следовательно, суждения о рациональности мнений участников процедуры. Если исходить из то-

го, что степень превосходства объекта ai над объектом aj rij = 3, а степень превосходства объекта aj над объектом ak rjk = 5, то следует ожидать, что rik = rijrjk. В нашем примере rik = 15, такой количественной оценки степени превосходства в предложенной Т. Саати шкале нет, но ее смысл понятен – она характеризует абсолютное превосходство объекта ai над объектом ak.

20