Материал: LS-Sb89585

стенками и плоским дном. Найти энергию второго квантового состояния, если ширина ямы a = 5Ǻ, m = m0.

Для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками и плоским дном из решения (4.2) находим:

Задача 4.4. В приближении слабой1 связи определить концентрацию электронов в кубических кристаллах из условия касания сферы Ферми и зоны Бриллюэна в обратном пространстве (a = 3Ǻ).

Потенциальное поле кристалла V(r) можно аппроксимировать повторяющимися с периодом a потенциальными барьерами заданной высоты. Решение уравнения Шредингера (4.2) в этом случае приводит к зависимости E(k) в виде повторяющихся разрешенных (РЗ) и запрещенных (ЗЗ) зон значений энергии электронов (рис. 4.1).

Функция E(k) имеет разрывы в точках, где k ‒ модуль волнового векто-

ра k, равен ks = ±S a (S – положительное целое число) и описывается вы-

ражением

E(k ) = 2k 2 . 2m

Для изотропных кристаллов кубической сингонии зона Бриллюэна представляет собой куб со стороной 2π/a. Для 1-й зоны Бриллюэна (s = 1) kБр = ±π/a (рис. 4.2).

Поверхность Ферми для слабо связанных (свободных) электронов есть сфера, радиус которой kF связан с концентрацией электронов n зависимо-

16

Задача 4.6. Указать правильное соотношение между эффектив-

ными массами электронов в состояниях с модулями волновых векторов kA, kB для заданного энергетического спектра E(k) (рис. 4.3).

Рассматриваемый энергетический спектр E(k) имеет три ветви: вырожденные E1(k) и E2(k) и двухдолинный E3(k). Поведение электронов в кри-

Для изотропного кристалла эффективная масса m* – скалярная величина. В общем случае необхо-

димо использовать тензор обратной эффективной массы. Из (4.5) следует, что эффективная масса прямо пропорциональна радиусу кривизны

17

и m*1(kA) < 0, m*2(kA) < 0, т.е. для выпуклых экстремумов E(k) мы определя-

ем эффективную массу дырок. Для двухдолинной ветви E3(k), используя

(4.5), получаем

m*3(kA) < m*3(kB); m*3(kA) > 0; m*3(kB) > 0,

т. е. в первой долине при k = kA электроны более легкие, чем во второй долине при k = kB.

ТЕМА 5. КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ

Для качественного описания кинетических явлений используют элементарный кинетический метод, в котором носители электрического заряда электроны (дырки) и носители тепла фононы рассматриваются как свободные частицы, при этом расчет ведется по отношению к одной частице, движущейся свободно между двумя последовательными столкновениями с различными рассеивающими центрами, с последующими усреднением по всем частицам. Согласно этой теории с учетом квантовых представлений, определяющих эффективную массу носителя заряда m", для электропроводности твердых тел пользуются выражением:

где: n0 - концентрация электронов; τ – время свободного пробега электрона

(время релаксации). Электропроводность материала может быть вычислена также по формуле

σ = enµ,

где использовано соотношение между средним временем свободного пробега τ и подвижностью носителей заряда µ = e/m*τ. Подвижность носителя заряда µ численно равна скорости дрейфа vдр в электрическом поле еди-

ничной напряженности ε.

Для решения задач этой темы студенты могут воспользоваться программами MCAD (см. список прил. П6, П7 и П8).

Задача 5.1. Рассчитать удельное сопротивление и теплопроводность алюминия в диапазоне температур T = 77 ... 400 К, если измеренное удельное сопротивление образца при Т = 0 ° С составляет

2,45 мкОм·см и концентрация электронов n0 = 1029 м–3 .

Для Al (см. Прил.1) находим a = 4,05 Ǻ, TD = 394 K, Tпл = 933 K.

Процессы рассеяния электронов в твердом теле можно подразделить на несколько видов, из которых в данной задаче будем рассматривать два:

18

рассеяние электронов на фононах (тепловых колебаниях решетки) и рассеяние электронов на дефектах структуры.

Рассеяние электронов на фононах по-разному зависит от температуры. Общее выражение для электропроводности, справедливое во всем температурном диапазоне, дается следующими соотношениями Бло-

ха‒Грюнайзена:

где Rп – приведенное идеальное сопротивление; z = hω/2πkT; x = TD /T.

Приведенные соотношения позволяют определить электропроводность металла в двух предельных случаях: T >> TD и T << TD (TD – температура Дебая), используемых на практике для расчета.

При высоких температурах T >> TD процесс рассеяния носит упругий характер, и средняя длина свободного пробега λ(T) определяется простой приближенной формулой:

где: Tпл – температура плавления; a – параметр решетки материала.

характер рассеяния становится неупругим и λ(T) имеет

вид:

Соотношения (5.2), (5.3) позволяют приближенно оценить длину свободного пробега, определяемую рассеянием электронов на тепловых колебаниях решетки (фононах). На рис. 5.1 представлены графики зависимости λ1(T) и λ2(T), рассчитанные по формулам (5.2) и (5.3) соответственно для Al.

Штрихами (×) выделен график результирующей зависимости λ(T).

скорость Ферми; h – постоянная Планка.

Время релаксации при рассеянии электронов на дефектах структуры в металле τd не зависит от температуры.

19