Материал: LS-Sb89585
Точка с координатами x, y, z после преобразования симметрии займет новое положение с координатами x′, y′, z′, определяющимися уравнениями преобразования:
x′ = c11x + c12y + c13z,
y′ = c21x + c22y + c23z,
z′ = c31x + c32y + c33z,
где ci, j – косинусы углов между осями координат; i, j = 1, 2, 3.
|
Z |
|
|
|
Z' |
|
Любому |
преобразованию симметрии |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
X' |
|
можно поставить в соответствие матрицу пре- |
||||||
|
M'(x',y',z'’) |
|
|
|
M(x,y,z) |
|
образования ∆i,j, элементами которой являют- |
||||||
|
|
|
|
|
ся косинусы углов ci,j: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Y' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
13 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
. |
|
X |
|
|
|
|
|
i = |
21 |
22 |
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
c c |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Рис. 1.3 |
|
Требуемое |
|
31 c |
32 c |
33 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
симметричное |
преобразова- |
|||||
ние представляет поворот кристаллографических координат вокруг оси L2
(оси Z) на угол 180°. Введем новую систему координат x′, y′, z′, связанную с исходной x, y, z следующими соотношениями:
x′ = cos(xx′)× x = cos(π × x = (-1)× x, y¢ = cos(yy¢)× y = cos(π )× y = (-1)× y, z¢ = cos(zz¢)× z = cos(0)× z = (+1)× z.
Соотношения между разноименными осями (например, xy′) определяются косинусами углов, равных 90° ( все разноименные оси взаимно перпендикулярны), поэтому искомое преобразование симметрии следует записать в виде матрицы:
(
L | |
Z |
|
- 1 |
0 |
0 |
|
= |
|
|
- 1 |
|
||
2 | |
|
|
0 |
0 . |
||
|
|
) |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|||
Задача 1.4. К кубическому кристаллу с симметрией m3m приложили одноосное напряжение растяжения вдоль оси L4. Какой сим-
метрией будет обладать кристалл?
Взаимосвязь физических свойств кристаллов и симметрии их структуры описывается принципами кристаллофизики.
Принцип Неймана: группа симметрии любого физического свойства кристалла должна включать в себя группу симметрии кристалла.
6
Для описания симметрии физических свойств и внешних воздействий служат предельные группы симметрии (группы Кюри), содержащие оси бесконечного порядка.
Принцип суперпозиции Кюри: кристалл, находящийся под влиянием внешнего воздействия, будет обладать теми элементами симметрии, которые являются общими для воздействия и кристалла в отсутствие воздействия. Свойства кристалла, связывающие воздействия явления, можно отобразить схемой:
явление (эффект) = (свойство) × ( воздействие). (1.2)
По условию задачи растягивающее напряжение приложено по оси L4
вдоль направления [0 0 0]. Симметрия приложенного воздействия соответствует предельной группе ∞/mmm с геометрическим образом в виде покоящегося цилиндра вращения.
Применяя принцип суперпозиции Кюри (1.2), найдем общие элементы для кристалла в отсутствие воздействия и воздействия в отсутствие кристалла (рис. 1.4).
L4[001]
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m3m |
mmm |
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
mmm |
|
|
|
Рис. 1.4 |
|||||
Общими элементами симметрии будут ось L4, четыре вертикальные плоскости, проходящие параллельно L4, одна перпендикулярная оси L4 го-
ризонтальная плоскость, четыре оси L2 на пересечении вертикальных плос-
костей с горизонтальной плоскостью и центр инверсии.
Полученная симметрия соответствует симметрии тетрагональной призмы 4/mmm.
В аналитическом виде схеме (1.2) соответствует операция перемножения матрицы симметрии кристалла и матрицы предельной группы, соответ-
ствующей данному физическому воздействию, т. е.: |
||||||
m3 m |
|
∞ |
|
= |
4 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
m |
|||
× |
m |
|
|
m |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
m |
|
|
m |
|
7
Задача 1.5. Определить постоянную решетки кристалла NaCl; плотность кристалла ρ = 2,18·103 кг/м3.
Плотность вещества зависит от типа структуры, плотности упаковки, атомной массы. С увеличением плотности упаковки возрастает и плотность
вещества (кристалла). Плотность кристалла ρ связана формулой |
|
||||
ρ= |
V= |
V× |
N |
|
(1.3) |
× |
|
||||
|
|
|
|
|
|
с его относительной массой A, объемом элементарной ячейки V, числом атомов N в элементарной ячейке (NA – число Авогадро).
В кристалле NaCl можно выделить ячейку в виде куба, в вершинах которого поочередно находятся атомы Na и Cl. Ребро куба d, объем d 3. Такая ячейка содержит 1/2 атома Na и 1/2 атома Cl. Если атомный вес ANa = 23, ACl = 35,46 , то масса выделенной ячейки определяется из выра-
жения (1.3): |
M m N A |
|
N A ρ d , m N |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
= |
H |
N |
N |
+ |
|
C |
C |
3 |
H |
− |
, |
|
||
|
( |
a × |
a |
|
l × |
l ) = |
|
|
= |
|
|
||||
где m – масса атома водорода, m |
H |
= 1,66·10–27 |
кг; N |
Na |
и N |
Cl |
– число ато- |
||||||||
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
мов Na и Сl соответственно в выбранной ячейке. Разрешая формулу относительно d, получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,66 ×10−27(23 + 35,6) |
|
|
|
||
|
|
m |
1 |
(A |
+ A ) = 3 |
|
|
×10−10м. |
||||||
d = 3 |
H |
× |
|
|
|
|
|
= 2,8 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ρ |
2 |
|
Na |
Cl |
2,18 |
×103 ×2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Постоянная решетка кристалла определяется расстоянием между двумя одинаковыми атомами, т. е. a = 2d = 5,62Å.
Примечание. Применение соотношения (1.3) может быть полезным при оценке концентрации электронов n в кристаллах металлов по известной концентрации атомов N и валентности Z: n = NZ.
ТЕМА 2. ДИНАМИКА КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ. ТЕПЛОЕМКОСТЬ РЕШЕТКИ
Тепловые и механические свойства материалов, применяемых в радиоэлектронике, определяются движением атомов кристаллов за счет теплового или механического возмущения, описание которого представляет довольно сложную задачу. В предлагаемом разделе рассматриваются задачи с использованием различных моделей-приближений: модели изолированного атома, модели Дебая, одномерной цепочки атомов. Основными физическими задачами являются задачи определения скорости звука, теплоемкости и спектра фононов радиоматериалов. Для их решения студенты могут воспользоваться программой MCAD (П4 в списке прил.).
8
Задача 2.1. Определить частоту колебания атомов кристалла меди, используя модель изолированного атома.
Простейшей моделью, описывающей движение атома, является модель изолированного атома, в которой атом рассматривается в виде точечной массы m, закрепленной на пружинных связях относительно неподвижных опор (соседних атомов).
В гармоническом приближении, в случае изотропной кубической решетки потенциальную энергию V(u) как функцию малого смещения атома u из положения равновесия можно записать
V (u) = 1β× u2,
2
где β – параметр упругости материала (жесткость связей). Соответствующая сила, противостоящая смещению атома из положения равновесия:
F(u) = - dV (u) = -β× u. du
Смещение атома из положения равновесия в зависимости от времени t |
|
|||||
u |
As |
ω t, |
ω |
β m |
|
|
= |
0 i |
0 |
0= |
|
(2.1) |
|
|
, |
|||||
|
n |
|
|
|
|
|
где ω0 – частота собственных колебаний атома массой m. |
|
|||||
Параметр упругости материала в рамках закона Гука (механическое |
||||||
напряжение пропорционально относительной деформации) определяется выражением:
β = 4aY, |
(2.2) |
где a – параметр решетки; Y – модуль Юнга.
Для кристалла меди находим значение необходимых параметров a, Y, ACu (прил. 1). Используя соотношения (2.1) и (2.2), находим значение часто-
ты колебаний атомов при заданных допущениях: |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ω0 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
4 ×3,61×10−101,15 ×1011 |
|
|
||||
= |
|
|
|
|
= |
|
4aY |
|
|
|
= 4 ×1013c−1. |
||||
m |
ACumH |
63,5 ×1,67 ×10−27 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача 2.2. Определить скорость звука в кристалле меди, используя модель Дебая для описания спектра акустических фононов.
Для изотропных кристаллов при описании спектра акустических фононов можно воспользоваться решением, полученным для одномерной цепочки одинаковых масс m, связанных упругими связями β с соседними фононами. Дисперсионное уравнение, связывающее частоту колебаний ω и
волновой вектор k (рис. 2.1.а), имеет вид: |
|
|
|
|
||||||
ω |
|
|
β |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
ka |
|
|
|||
= 2 |
× |
|
|
|
× |
sin |
|
|
, |
(2.3) |
m |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
где k = 2π/λ – модуль волнового вектора k; λ – длина волны упругих смещений атома; a – постоянная решетки.
Область значений волнового вектора, для которой не возникает неоднозначности дисперсной кривой ω(k), называется зоной Бриллюэна.
а |
б |
Рис. 2.1
Для одномерной цепочки из 2-х видов атомов с массами m и M (M > m) дисперсионное уравнение
ω |
|
β |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 2 |
4sin2 (ka) |
|
|
||||
2 |
= |
2 |
|
|
+ |
|
|
± |
|
|
+ |
|
|
− |
|
|
|
(2.4) |
1,2 |
|
|
|
|
|
mM |
||||||||||||
|
|
m M |
|
m M |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет две ветви (рис. 2.1.б). Нижняя ветвь (минус перед корнем в (2.4) соответствует акустическим колебаниям, верхняя ветвь (плюс перед корнем в (2.4) – оптическим колебаниям.
Для цепочки из N атомов число допустимых значений модуля волново-
го вектора kS в зоне Бриллюэна: kS = 2π S; S = 0, 1, 2, ..., N - 1.
Na
Полная сумма волн с различными kS, описывающая движение n-атома
в составе цепочки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
(N 2)−1 |
|
|
ω |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
un = |
|
|
∑ |
AS exp i |
S t - |
|
|
S ×n , |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
S=−N 2 |
|
|
|
|
|
N |
π |
|
|
|
(2.5) |
|||||
|
1 |
|
N −1 |
|
|
|
ω |
|
2 |
S n |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
∑ u |
|
|
|
N |
|
|
|
||||||||
A = |
|
|
|
n |
exp |
- i |
S |
t - |
|
× |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
S |
|
N n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Каждая из бегущих волн по цепочке (2.5) представляет собой независимый осциллятор с частотой колебаний ωS и амплитудой AS, не завися-
щей от амплитуды других волн. Ортогональные волны цепочки называются нормальными колебаниями. Квант нормальных колебаний кристаллической решетки – фонон – квазичастица с энергией ES = ħωS и квазиимпульсом pS = ħkS (ħ – постоянная Планка, ħ = h/2π).
10