Материал: LS-Sb89585

В модели Дебая вместо сложной зависимости ω(k) (2.3), (2.4) принимается линейная аппроксимация (см. рис. 2.1.б)

ω (k) = vзвk, (2.6)

что хорошо описывает зависимость ω(k) на низких (звуковых) частотах. Скорость звука vзв в этом случае находится из соотношения (2.6) по

известной максимальной частоте акустических фононов – частоте Дебая (ωmax = ωD) и соответствующему максимальному значению волнового век-

тора kmax, при этом модуль вектора kmax определяется как

Окончательно для скорости звука (скорости акустических фонов по модели Дебая) получаем:

при T = 300 К; энергию возбуждения оптических фононов считать

где kБ – постоянная Больцмана; T – температура кристаллической решетки.

11

При TD > T имеем N(ωD ) = exp(−TD T ) = exp(− 625300) ≈ 0,135 < 1, т. е. опти-

ческие фононы в Si при 300 K не возбуждаются.

Задача 2.4. Найти векторы обратной решетки для ромбоэдрического кристалла кальция, если a = 5,36 Å, α = 46°.

Для описания свойств волнового вектора служит обратное пространство (или пространство волнового вектора). Связь обратного пространства (обратной решетки) с конфигурационным пространством (прямой решеткой) осуществляется соотношениями

векторы прямой решетки; V – объем элементарной ячейки; a, b, c и a*, b*, c*

–модули базисных векторов прямой и обратной решеток соответственно.

Вромбоэдрической ячейке a = b = c, α = β = γ. Следовательно, согласно (2.8), a* = b* = c*, α* = β* = γ* (углы между базисными векторами обратной решетки).

где R – универсальная газовая постоянная.

Согласно модели Дебая, теплоемкость решетки, в которой могут рас-

12

Случай высоких температур (T >> TD) соответствует (2.9). В случае низких температур (T << TD)

Температура Дебая меди TD = 315 K много больше заданной темпера-

туры эксперимента THe = 4,2 K. Следовательно, для области низких темпе-

ратур справедлива формула определения теплоемкости (2.10), и тогда

ТЕМА 3. СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Для характеристики состояния в твердом теле большого числа частиц и квазичастиц, таких как электроны, фононы, дырки, атомы примеси и пр., используют классические и квантовые статистические распределения – статистику Больцмана для классических частиц, статистику Планка для фононов, статистику Ферми–Дирака для электронов и дырок в вырожденном состоянии.

Задачи этой темы способствуют формированию навыков правильного выбора и использования статистики для описания свойств частиц в заданных состояниях, главным образом электронов и дырок в металлах и полупроводниках. Для анализа состояния электронов и дырок студенты могут воспользоваться программой MCAD (П5 в списке прил.).

Задача 3.1. Определить состояние электронного газа в кристалле кремния (n = 1019 м–3 , m* = 0,7m0) в диапазоне температур

T = 77 ... 300 K.

Состояние электронного газа в кристалле может быть вырожденным, т. е. описываться распределением Ферми–Дирака для системы квантовых частиц с полуцелым спином и химическим потенциалом, равным энергии

где – среднее число частиц в соответствии с энергией En при темпера-

туре T; f(En) – функция распределения частиц по состояниям с энергией En .

Если kБT > EF для любого En , то (3.1) переходит в распределение для идеального газа электронов (дырок), которое называется невырожденным и

13

описывается распределением Больцмана по состояниям с энергией En для

Вырожденный электронный газ характеризуется значением параметров Ферми и прежде всего значением энергии Ферми EF.

Изоэнергетическая поверхность в k-пространстве с энергией E = EF

называется поверхностью Ферми. Для свободного электронного газа с концентрацией электронов n и эффективной массой m* поверхность Ферми – сфера с радиусом kF, при этом

Используя критерий вырождения, в нашем случае для заданной концентрации электронов при Т = 77 К имеем слабо вырожденный электронный (дырочный) газ, который при повышении температуры до 300 К становится вырожденным и описывается распределением Ферми–Дирака (3.1).

ТЕМА 4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР ЭЛЕКТРОНОВ В КРИСТАЛЛЕ (ЗОННАЯ СТРУКТУРА)

Для описания поведения электронов в кристалле воспользуемся вероятностными законами квантовой механики и так называемым квазиклассическим приближением. Критерием выбора является соотношение между длиной волны де Бройля для частицы λБр и характерным геометрическим размером системы, например, постоянной решетки a.

Соотношение де Бройля сопоставляет свободную частицу с энергией E

14

Если λБр становится соизмеримой с a, частица описывается законами

dt

где Ĥ – оператор полной энергии.

Для характеристики частицы в пространстве необходимо решить уравнение Шредингера

и найти энергетический спектр, т. е. зависимость энергии частицы от волнового вектора k – волновой функции Ψ(r).

Задача 4.1. Найти длину волны де Бройля для электронов, если ускоряющее напряжение в электронном микроскопе равно 50 В.

Для частицы в ускоряющем электрическом поле с потенциалом V соот-

Тогда для свободного электрона с массой m0 и зарядом e имеем:

Задача 4.2. Найти энергетический спектр E(k) и волновую функцию Ψk(r) для свободных электронов.

Для свободной частицы V(r) = 0 и уравнение Шредингера (4.2) имеет

Энергия свободных электронов связана со значениями модуля волнового вектора k параболической зависимостью

E(k ) = 2k2 . 2m0

Задача 4.3. Определить вид энергетического спектра для электронов в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими

15