Материал: LS-Sb89541

Данная формула является самостоятельной формой решений задачи Ко-

ши и широко используется в электронно-оптических задачах.

3.5. Расчет электростатических полей

Одним из методов решения электростатических полей является метод функций Грина.

Относительно задач электростатики: функция Грина представляет собой потенциал, создаваемый единичным зарядом, помещенным в некоторую произвольную точку пространства с координатами М0(х0, у0, z0) ограничен-

ного заземленной проводящей поверхностью:

где первое слагаемое – потенциал поля единородного заряда в свободном

пространстве; второе слагаемое – потенциал поля зарядов, созданных на про-

точки расположения заряда М0 до точки наблюдения М (х, у, z). Функция Грина симметрична относительно своих аргументов, т. е.

G(M , M0 ) = G(M0, M ).

Рассмотрим уравнение Лапласа. Относительно точки расположения за-

ряда М0 решение уравнения Лапласа выглядит следующим образом:

ϕ(M0 ) = −ε0 ∫ ϕS (M ) ∂G (M , M0 ) + ∫ ρ(M )G (M , M0 )dV ,

∂n

S V

где S – поверхность; ϕS – распределение потенциала на поверхности S; ρ – распределение плотности объемного заряда в пространстве V. Интегрирова-

ние производится по координатам x, y, z точки М, причем ϕS , ∂G и ρ счита-

∂n

ются известными функциями этих координат.

Решение уравнения Лапласа относительно точки наблюдения М пред-

ставляется в следующем виде:

ϕ( M ) = −ε0 ∫ ϕS (M0 ) ∂G (M , M 0 ) + ∫ ρ(M0 )G (M , M0 )dV .

∂n

S V

Интегрирование проводится по координатам х0, у0, z0 точки М.

21

3.6. Метод интегральных уравнений

Метод функций Грина рассмотрен на примере уравнения Лапласа, теперь рассмотрим решение уравнения Пуассона в аналитическом виде. Применим теорему Грина (3.12) к уравнению Пуассона. Решение его уравнения записывается следующим образом:

где 1-й интеграл – потенциал объемных зарядов ϕρ ; 2-й интеграл – потенци-

ал поверхностных зарядов ϕS ; R0 – расстояние от точки наблюдения до точ-

ки расположения объемных зарядов; Ri – расстояние до точки расположения поверхностных зарядов. Таким образом, ϕ(x, y, z) = ϕρ + ϕS – заданный по-

тенциал на контуре электродов С. Основная сложность – определить ϕS .

4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПРИ ДВИЖЕНИИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ В ВАКУУМЕ И ПЛАЗМЕ

Движение заряженных частиц описывают различными способами, наиболее распространенными в форме Ньютона, Лагранжа и Гамильтона. Рассмотрим уравнение движения частицы в форме Ньютона.

В процессе движения на заряженное тело (в нашем случае частица) действуют силы, определяемые следующим образом:

(4.1) – уравнение движения в форме Ньютона.

Рассмотрим движение одной частицы. Сила, действующая на движущуюся частицу в электромагнитном поле, определяется как

F = eE + e[v × B].

Рассмотрим движение одной частицы. Перепишем уравнение движения через импульс:

dt

Здесь eE – сила, действующая на частицу со стороны электрического поля; e[v × B] – сила, действующая на частицу со стороны магнитного поля.

22

Рассмотрим движение частицы в плоскопараллельном поле. Перепишем уравнение движения в декартовой системе координат в проекциях на оси.

Заменим комплексные скорости в проекциях на оси:

xɺ, yɺ , zɺ, ɺɺx , ɺɺy , ɺɺz – первые и вторые производные координат по времени (ко-

ординаты скорости и ускорения).

Для уравнения движения в форме Ньютона справедливо утверждение,

что частица может двигаться с любыми скоростями, включая и релятивист-

ские, когда зависимость импульса от скорости нелинейная:

Найдем закон изменения кинетической энергии при движении в элек-

тромагнитном поле. Умножим обе части уравнения (4.3) на v и учтем, что

v = dr , где r – радиус-вектор движения частицы, получим: dt

dp = −e dϕ . dt dt

Таким образом, кинетическая энергия движения частицы увеличивается за счет уменьшения ее потенциальной энергии. При малых скоростях исполь-

зуется разложение в ряд Тейлора.

Для нерелятивистской формы при интегрировании получим:

m0v2 + eΔϕ = const. 2

4.1. Уравнение движения в форме Лагранжа

Для декартовой системы координат уравнение движения Лагранжа по-

лучается из уравнения движения в форме Ньютона в проекциях на коорди-

натные оси:

Вводят функцию Лагранжа L = T − V . Очевидно, что это разность кинетической и потенциальной энергий. Кинетическая энергия с учетом проекций ско-

рости на оси координат записывается следующим образом: T = m2 (vx2 + v2y + vz2 ).

Потенциальная энергия частиц в общем виде зависит только от координат, и, таким образом, закон сохранения энергии запишется в следующем виде:

Перепишем через функцию Лагранжа (для осей y и z форма записи будет аналогичной):

–это уравнение Лагранжа в проекциях на оси.

Вобобщенных криволинейных координатах qi для уравнения Лагранжа

симые между собой параметры qi (r = 1, 2, …, S) любой размерности, число которых равно числу S степеней свободы механической системы и которые однозначно определяют положения системы.

4.2.Уравнения движения в форме Гамильтона

Вобобщенных координатах:

H = ∑ piqi − L, i

где Н = T + L – полная энергия частицы. Уравнение движения в форме Гамильтона:

pɺi = ∂H , qɺi = ∂H .

∂qi ∂pi

4.3. Гидродинамическая модель потока

Чтобы построить траекторию одной частицы, нужно знать зависимость ее координат от времени или зависимость скорости от координат. Для определения траектории потока частиц используется гидродинамическая модель потока.

24

Суть модели: для описания движения используется уравнение в гидродинамической форме – оно связывает скорость частицы в каждой точке с координатами этой точки. Используется вместе с уравнениями Пуассона и непрерывности для определения всех параметров потока. Гидродинамическое определение справедливо при условии ламинарности, т. е. отсутствии перемешивания слоев. Таким образом, поток заряженных частиц рассматривается как поток заряженной жидкости.

Запишем уравнение движения электромагнитного объема заряженной жидкости, которое совпадает с уравнением отдельной частицы (4.2). Для любой функции, зависящей от координат, производную по времени можно представить в виде

трических и векторных магнитных потоков. Преобразуем уравнение движения. Объединим части с градиентом и векторные производные:

Таким образом, получим:

поле. Полная энергия частицы не меняется для моноскоростных импульсов и