Материал: LS-Sb89541

Одно из свойств электрического заряда – создание вокруг себя электрического поля. Это поле проявляет себя в том, что помещенный в любую точку другой пробный заряд испытает действие силы.

Основная характеристика электрического поля – напряженность:

F = E q,

где F – сила, действующая на пробный положительный заряд, помещенный в данную точку поля; q – заряд.

По закону Кулона для точечного заряда справедливо соотношение

E(r) = 1 q1q2 e0 , 4πε0 r2

где e0 – единичный вектор; r – расстояние между точкой наблюдения и точкой расположения заряда. Для системы точечных зарядов справедливо следующее соотношение:

Когда систему взаимосвязанных зарядов нельзя представить в виде конечного числа заряженных частиц, то формула (3.1) заменяется на одну из следующих:

где λ, σ, ρ – линейная, поверхностная и объемная плотности заряда. Если поле создается не точечными зарядами, то тело разбивают на бесконечно малые элементы, определяют напряженность поля от каждого элемента и затем интегрируют по объему всего тела.

Структуру электрического поля можно представлять в графическом виде, т. е. в виде линий напряженности, причем, чем гуще линии, тем поле сильнее. Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность опре-

деляется теоремой Гаусса

Выражение (3.2) – теорема Гаусса в интегральной форме. Поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность пропорционален заключенному внутри этой поверхности заряду.

11

Запишем теорему Гаусса в дифференциальной форме:

Выражение для дивергенции зависит от выбора системы координат. Если заряд (пробный и положительный) переносим из точки 1 в точку 2, то работа сил поля по перемещению заряда представляет собой циркуляцию. Су-

ществует также теорема о циркуляции: ∫ Edl =0 .

Пусть в электрическом поле существует некая скалярная функция φ координаты, убыль которой можно выразить следующим образом:

где ϕ1 и ϕ2 – значения функции в точках 1 и 2. Функция φ(r) называется по-

тенциалом.

Потенциал – величина, численно равная потенциальной энергии единичного точечного заряда в данной точке поля. Для точечного заряда спра-

ведливо следующее соотношение: j = 1 q . Для системы зарядов выпол- 4pe0 r

няется принцип суперпозиции. Из формулы (3.3) получаем связь напряженности с потенциалом:

Зная потенциал, можно вычислить работу сил поля по перемещению точечного заряда.

Теперь рассмотрим более сложный случай – поле в диэлектриках. В отличие от проводников они практически не проводят электрический ток и, следовательно, там нет зарядов, которые способны перемещаться на значительное расстояние. Диэлектрик состоит либо из нейтральных молекул, либо из заряженных ионов; молекулы могут быть полярными или неполярными. Под действием внешнего электрического поля происходит поляризация ди-

электрика. Поле в диэлектрике выглядит следующим образом E = E0 + E′ ,

где Е0 – поле, создаваемое свободными зарядами; E′ – поле связанных заря-

дов. Теорема Гаусса для диэлектриков имеет вид

12

где P – поляризованность диэлектрика, равная дипольному моменту единицы объема вещества. Связь поляризованности с полем выражается следую-

щим образом: P = ce0E, где χ – диэлектрическая восприимчивость (безраз-

мерная величина). Также вводится вспомогательная величина

D = e0E + P,

которая представляет собой вектор электрической индукции. Существует связь вектора электрической индукции и напряженности электрического по-

ля D = ee0E, где ε – диэлектрическая проницаемость среды; ε > 1 – для всех веществ и ε = 1 – для вакуума. Таким образом, поток вектора электрической индукции определяется как

Дивергенция D равна объемной плотности стороннего заряда. Формула (3.6) позволяет установить зависимость плотности стороннего заряда от координат. Вектор электрической индукции зависит от координат, и в анизотропных средах значения вектора диэлектрической индукции могут не совпадать. Диэлектрическая проницаемость также тензорная величина.

В выражении (3.4) возьмем дивергенцию от обеих частей и рассмотрим случай для поля в веществе. Из векторного анализа известно, что div grad ϕ = Δϕ .

Таким образом:

Формула (3.7) называется уравнением Пуассона. Это основное уравнение электростатики. Вне области распределения зарядов ρ = 0, и уравнение Пуассона переходит в уравнение Лапласа:

Δϕ = 0 .

3.1. Магнитное поле

Установлено, что источником постоянного поля являются стационарные электрические токи. Магнитные поля можно рассматривать отдельно от электрического, если оно создается меняющимися со временем электрическими токами. Переменные электрические токи создают переменное магнитное поле. Характеристикой магнитного поля является вектор магнитной ин-

дукции B , который характеризует силовое действие магнитного поля на движущийся заряд.

Основу теории магнитного поля для постоянного тока составляет закон Био– Савара– Лапласа, который определяет поле, создаваемое током плотности j, текущим в элементарном объеме проводника dV на расстоянии r от этого объема. Суммарное поле в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования по всем элементам тока:

B = μ0 ∫ I [dl3×r ], 4π r

где I – ток в проводнике; dl – элемент длины проводника.

Во многих случаях распределение тока по сечению проводника можно не учитывать и считать, что задается интегральное значение тока:

I = ∫ j × dS,

S

где S – поперечное сечение проводника.

3.2.Теорема о циркуляции магнитного поля

Вэлектростатике используется теорема Гаусса, а в магнитостатике – теорема о циркуляции вектора напряжения магнитного поля. Физический смысл циркуляции – это работа сил поля при перемещении единицы магнитной массы по замкнутому пути:

∫ Bdl = μ0I .

L

Таким образом, циркуляция вектора B по произвольному контуру L равна произведению µ 0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых кон-

туром L. Ток считается положительным, если его направление совпадает с направлением обхода контура. То, что циркуляция магнитной индукции не равна нулю, означает, что поле В не потенциально (в отличие от электростатического) – такое поле называют вихревым или соленоидальным.

14

Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции запишется следующим образом:

т. е. поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю. Дифференциальная форма:

Дивергенция магнитного поля всюду равна нулю. Это означает, что магнитное поле не имеет источников магнитных зарядов. Магнитные поля порождают не магнитные заряды, а электрические – токи. Формулы (3.8) и (3.9) – фундаментальные законы, справедливые для постоянных и переменных магнитных полей.

Теорема о циркуляции в дифференциальной форме записывается следующим образом:

Ñ´ В = m0 j.

Вэлектростатике векторное поле, ротор которого равен нулю, является потенциальным, в противном случае – соленоидальным. Таким образом, электростатическое поле – потенциальное, магнитное – соленоидальное.

Для исследования электростатического поля удобно определять потен-

циал φ (это скалярная функция) и из связи напряженности с потенциалом находить основную векторную характеристику поля – напряженность. Для исследования магнитного поля аналогично вводится вспомогательная функция (но только векторная).

Из закона Био– Савара– Лапласа:

А = μ0 ∫ j dV . 4π r3

Таким образом, соотношение для магнитной индукции поля записывает-

ротора от векторной функции А(r) – векторный потенциал магнитного поля.

Свойства векторного потенциала: div A = 0 .

Скалярный потенциал электрического поля можно представить в виде

Данное выражение является решением уравнения Пуассона. Запишем уравнение Пуассона для векторного потенциала:

15