Материал: LS-Sb89541

Величина P = v + e A – обобщенный импульс. Уравнение для потока частиц m

имеет вид

v × rot P = 0.

Для «нормальных», или регулярных, потоков: rot P = 0 . Такие потоки могут создаваться эквивалентными эмиттерами в отсутствие потока магнитного поля через эмитирующую поверхность. Для стационарного или лами-

нарного потока, когда ∂P = 0 , уравнение непрерывности примет следующий

¶t

вид: div j = div(r × v) = Ñ(r × v) = 0 .

4.4. Моделирование интенсивных электронных пучков

Гидродинамическая модель потока описывает движение пучков, однако имеет многие допущения. Такой подход нельзя использовать для описания интенсивных потоков заряженных частиц. Мера интенсивности электронных потоков называется «первеанс»:

где I – ток пучка; U – ускоряющее напряжение, определяющее энергию электрона в пучке. Физический смысл первеанса – характеристика вклада радиальной составляющей кулоновых сил в суммарном взаимодействии между частицами потока, т. е. интенсивность радиальных сил отталкивания в потоке под действием пространственного заряда. Таким образом, при расчете систем формирования интенсивных электронных пучков необходимо учитывать искажения электрических и магнитных полей.

Основу моделирования электронных потоков составляют уравнения Максвелла, которые справедливы даже при взаимодействии поля зарядов с веществом. Кроме того, движущиеся заряды сами являются источником электромагнитного поля. Для моделирования движения неинтенсивных потоков определяют только поле, создаваемое электродами с заданными распределительными потенциалами.

Для моделирования движения интенсивных потоков учет взаимодействия заряженных частиц друг с другом сводится к тому, что электрическое и магнитное поля, входящие в пространство потока, должны быть самосогласованными, т. е. имеет вид суперпозиция внешних и собственных полей. Поня-

26

тие самосогласования полей построено на взаимной зависимости напряженности поля и плотности пространственного заряда.

Гидродинамическая модель потока описывает движение заряженных частиц, но имеет многочисленные допущения. Такой подход нельзя использовать для описания интенсивных потоков заряженных частиц. Частицы в пучке создают собственное электрическое поле, и, поскольку частицы движутся, их можно рассматривать как линейные токи, создающие собственное магнитное поле.

Наибольшее распространение получили осесимметричные потоки заряженных частиц с поперечным сечением в виде круга или кольца (ленточные), а также ленточные (в поперечном сечении имеют форму прямоугольника).

4.5. Движение частиц в плазме

Плазма – полностью или частично ионизированный газ, в котором присутствуют нейтральные атомы, положительно и отрицательно заряженные частицы (электроны и ионы). Фундаментальное свойство плазмы: частицы в плазме взаимодействуют посредством дальнодействующих кулоновских сил, в результате чего эти частицы совершают коллективное движение (возникают различные колебания и волны в плазме).

Основные параметры плазмы: 1) заряд электронов и ионов; 2) масса электронов (me) и масса ионов (mi); 3) концентрация электронов (ne) и ионов

(ni); 4) средняя кинетическая энергия (или температура) электронов (Te) и

ионов (Ti). Заряд и масса – фундаментальные физические константы, а тем-

описания движения частиц в плазме.

Описание плазмы с помощью кинетических уравнений. В кинетиче-

ской теории каждый сорт частиц характеризуется функцией распределения f = f (r, v, t ), зависящей от координат, скоростей и времени, т. е. функция распределения имеет смысл плотности частиц в пространстве.

Полное число частиц определенного сорта определяется как

−∞

27

Таким образом, N = n(r, t)d 3r. Функция распределения f – это плотность частиц в шестимерном пространстве (шестимерное, так как r зависит от координат и v тоже зависит от координат).

Если записать уравнение для потока частиц по аналогии с уравнением непрерывности, то получим:

– уравнение Власова. Уравнения Больцмана описывают короткодействующее взаимодействие, уравнение Власова – дальнодействующие взаимодействия.

∂f

Смысл уравнения: если ¶t оставить в левой части, а все остальное пере-

нести в правую часть, то уравнение можно интегрировать, исходя из того, что изменение функции распределения в данной точке пространства вызвано приходом в нее частиц из других точек пространства и с другими скоростями.

что поток частиц несжимаем. Если учесть столкновения частиц, то вводят дополнительную величину – интеграл столкновений. Столкновения вызывают скачкообразное изменение скорости, которое приводит к перебросу частиц из одной точки пространства в другую.

28

В плазме все частицы коллективно движутся и взаимодействуют между собой. Описать траектории движения этих частиц невозможно, поэтому для решения плазменных задач используют статистические методы. Основная статистическая характеристика для описания движения частиц в плазме – функция распределения. Функцию распределения f = f (r, v, t ) можно пред-

ставить в виде произведения:

f (r , v, t ) = n(r, t) × fv (r, v, t ) ,

где fv (r, v, t ) – функция распределения частиц по скоростям, определяющая относительное число частиц определенной скорости в интервале vdv.

Такие перескоки описывают, добавляя в правую часть уравнения Власо-

в единицу времени в единице шестимерного объема фазового пространства. Интеграл столкновений для лоренцевой плазмы (плазма, которая состо-

ит из электронов и бесконечно тяжелых холодных ионов с зарядом z >> 1) имеет вид

Stei = 2pe4 z2niL Dθ, ϕ × f , me2V 3

где ni – число электронов, рассеивающихся в единице объема; Λ – кулонов-

ский логарифм; V3 – элемент фазового пространства; Dθ, ϕ × f – угловая часть

лапласиана в сферической системе координат. В лоренцевой плазме энтропия возрастает. Это справедливо при столкновении одного сорта частиц.

4.6. Гидродинамическая модель плазмы. Плазма как жидкость

Физическое свойство плазмы: в задачах определения параметров плазмы Е и В не заданы и определяются положением самих частиц. Тогда решают самосогласованную задачу – находят траектории движения частиц, двигаясь по которым, частицы генерируют эти поля.

Описание движения частиц в плазме. Уравнение движения отдельной заряженной частицы имеет вид (4.2). Используют допущения, что столкновения и тепловое движение в плазме отсутствует. В таком случае предполагают, что все частицы элемента жидкости движутся вместе и их средняя скорость (u) совпадает с отдельной скоростью частицы.

29

Нужно получить уравнение для элементов объема жидкости, зафиксированных в пространстве. В таком случае рассматривают в одномерном пространстве любой параметр жидкости G(x, t). Это может быть плотность, вязкость, скорость течения, сжимаемость, температура и т. п. Запишем уравнение для параметра жидкости G(x, t) в системе отсчета, движущейся с жидко-

Для трехмерного случая получим dG = ∂G + (u ×Ñ)G . dt ¶t

Первое слагаемое в правой части уравнения – изменение величины G в фиксированной точке пространства; второе слагаемое – изменение величины G при перемещении наблюдателя вместе с жидкостью в область пространства с другими значениями G. Если рассматривать уравнение для скорости жидкости (где G(x, t) – это u – скорость жидкости), то

При учете тепловых движений в правую часть уравнения добавляют силу давления:

где p = nkT.

30