Материал: LS-Sb89541

А = −μ0 j .

Рассмотрев магнитное поле в вакууме, рассмотрим теперь магнитное поле в веществе. Всякое вещество является магнетиком, т. е. способно под действием магнитного поля намагничиваться – приобретать магнитный момент. Век-

тор намагниченности (намагниченность) J отражает магнитное состояние вещества и определяется как магнитный момент единицы объема вещества:

J = D1 ∑ pm , V m

где ∆V – физически бесконечно малый объект в окрестностях данной точки; pm – магнитный момент отдельной молекулы. Намагничивание вещества обусловлено ориентацией магнитных моментов отдельных молекул.

Для отдельных молекул возникают также элементарные круговые токи – молекулярные токи, которые приводят к появлению макроскопических токов

(I') – токов намагниченности. Для намагниченности J выполняется теорема о циркуляции:

∫ Jdl = I ′

– циркуляция намагниченности J по произвольному контуру равна алгебраической сумме токов намагничивания I', охватываемых контуром.

Ток намагничивания определяется как I ¢ = ∫ j¢dS, где j' – поверхностная плотность тока. Теорема о циркуляции в дифференцированной форме:

ÑJ = j '

– ротор намагниченности равен плотности тока намагничивания в той же точке пространства.

Напряженность магнитного поля. Определение токов намагничивания (I') – сложная задача, поэтому вводят другой вспомогательный вектор – на-

пряженность магнитного поля ( Н ) . Теорема о циркуляции напряженности магнитного поля:

∫ Нdl = I .

Циркуляция напряженности магнитного поля равна алгебраической сумме токов проводимости (I), охватываемых этими контурами. Дифференциальная форма:

Ротор вектора напряженности магнитного поля равен плотности тока проводимости в той же точке вещества.

Для вектора индукции магнитного поля справедливо выражение

В = μ0μН ,

где µ – магнитная проницаемость среды: µ > 1 – для парамагнетиков, µ < 1 – для диамагнетиков.

3.3. Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла

Деление электрического поля на электрическое и магнитное имеет отно-

сительный характер: такое деление зависит от системы отсчета, в которой рассматривается явление. Соотношения между электрическим и магнитным полями оказываются разными в разных системах отсчета.

Теория электромагнитного поля была завершена Максвеллом и его ос-

новная идея – взаимозависимость электрического и магнитного полей, т. е.

переменное во времени магнитное поле создает электрическое поле и наобо-

рот. Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать единую теорию электронных и магнитных явлений. Выражение для плотности тока смеще-

ния имеет вид

jсм = ∂D .

∂t

Сумму тока проводимости и тока смещения называют полным током

тока проводимости. Токи проводимости, если они не замкнуты, замыкаются токами смещения. Запишем итоговые уравнения для электромагнитного по-

ля – уравнения Максвелла (таблица).

Дифференциальная форма:

ÑB = 0.

Формулировка:

1) циркуляция вектора напряженности по любому замкнутому контуру равна отрицательной производной по времени от магнитного потока через

любую поверхность, ограниченную данным контуром;

2) поток вектора D сквозь любую замкнутую поверхность равен алгеб-

раической сумме сторонних зарядов, охваченных этой поверхностью;

3) циркуляция вектора H по любому замкнутому контуру равна полно-

му току через произвольную поверхность, ограниченную данным контуром;

4) ток вектора магнитной индукции B сквозь произвольную замкнутую

поверхность всегда равен нулю.

и магнитные поля нельзя рассматривать как независимые – изменение во времени одного из этих полей приводит к появлению другого.

Уравнение (3.10) говорит о том, что электрическое поле возникает по

двум причинам: 1) если его источником являются электронные заряды (как

сторонние, так и связанные); 2) поле E образуется всегда, когда меняется во времени магнитное поле.

Уравнение (3.11) говорит о том, что магнитное поле B может возбуж-

даться либо движущимися электронными зарядами (электрическими токами),

либо переменными электрическими полями, либо тем и другим одновременно.

Важный вывод из уравнений Максвелла: электромагнитное поле способ-

но существовать самостоятельно без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния имеет волновой характер. Поля такого рода называют электромагнитными волнами. В вакууме они распространяются со скоростью света.

18

3.4. Расчет электромагнитных полей

ваналитическом виде. Задача Коши

Вэлектромагнитной оптике часто возникает необходимость расчета поля по значениям потенциала и его производной, заданным на некоторой граничной кривой. Существует несколько методов решения задач Коши, но рассмотрим одни из самых распространенных. Суть задачи Коши – найти решение дифференциального уравнения (или системы), которое удовлетворяет заданным начальным условиям. Пример: y' = f (x, y) (задача Дирихле задает значение исходной функции на границе области). В задаче Коши задано начальное условие на саму функцию (а в задаче Дирихле начальное условие задается на производную).

Метод аналитического продолжения: строится аналитическое продол-

жение функции, которая характеризует распределение потенциала и его производной на комплексную плоскость.

Виды полей: 1) плоскопараллельное (распределение потенциала на прямой линии); 2) аксиально-симметричное (потенциал задается по оси).

Рассмотрим плоскопараллельное поле и три случая.

1. Распределение потенциала задано на прямой линии и производная равна нулю. Считаем, что данная прямая является вещественной осью плос-

кости комплексной переменной ξ = z + iy .

Начальные условия рассматриваемой задачи запишутся в следующем

В этом случае потенциал вне оси находится как результат аналитическо-

го продолжения функции ϕ( z ) на комплексную плоскость:

Данное выражение соответствует уравнению Лапласа и обеспечивает выполнение первого и второго начальных условий. Разложим функцию f ( z + iy ) в ряд Тейлора и получим решение:

2. Распределение потенциала задано на прямой линии, и производная не равна нулю. Как и в предыдущем случае, считаем, что прямая совпадает с

19

вещественной плоскостью комплексной переменной ξ = z + iy . В качестве

На прямой y = 0 величина F (ξ) определяется следующими начальными условиями: F (ξ) y=0 = f3(z) − if2 (z) . Тогда в произвольной точке комплекс-

ной плоскости производная комплексного потенциала может быть найдена путем аналитического продолжения функций f3 и f2 на комплексную плос-

Распределение электростатического потенциала соответствует данной задаче, определяемой как

ϕ= ReW = Re f1 (ξ) + Im ∫ f2 (ξ)dξ + C.

3.Распределение потенциала задано на некоторой кривой. Данная задача

сводится к решению предыдущей задачи при введении новой комплексной плоскости ψ = u + iv .

Рассмотрим теперь аксиально-симметричное поле. В качестве примера рассмотрим трехмерное уравнение Лапласа и найдем его аксиально-симмет- ричное решение:

произвольная константа.

Распределение потенциала в аксиально-симметричном поле. Аксиальное решение получают путем разложения в ряд Тейлора и интегрирования: