Материал: LS-Sb87079

1. z0 – устранимая особая точка cn 0, n 0 (ряд Лорана не содержит слагаемых с отрицательными степенями).

2. z0 – полюс существует число N такое, что cn 0, n N (ряд Лорана содержит конечное число слагаемых с отрицательными степенями).

3. z0 – существенно особая точка для всякого положительного числа N

взять окружность z z0 r , далее простые оценки по модулю завершают

доказательство.

Доказательство теоремы об эквивалентной классификации.

1. Из условия равенства нулю коэффициентов с отрицательными номе-

2. Предположим, что существует положительное число m такое, что c m 0 и cn 0, n m . Тогда свойства степенных функций, гарантируют,

что в достаточно малой окрестности точки z0 справедлива оценка

Следовательно, z0 – точка полюса.

Проверим обратное утверждение. Если известно, что z0 – точка полюса,

3. Достаточно заметить, что если модуль функции не ограничен и не стремится к бесконечности, то он не может иметь предела. Аналогично доказывается обратное утверждение.

6. ВЫЧЕТЫ

Наиболее востребованное приложение рядов Лорана связано с формулой

для вычисления коэффициента c 1 1 f (z)dz , где – контур, обходящий

2 i

особую точку z0 в положительном направлении и не содержащий внутри се-

бя других особых точек. Дело в том, что коэффициенты ряда часто удается определить из косвенных соображений, и тогда формула становится мощным инструментом для вычисления контурных интегралов. Если известен коэффициент c 1, то известен и интеграл. Для устранимых особых точек этот ко-

22

эффициент равен нулю и получается уже известная теорема Коши. Будет показано, что в точках полюсов вычисление коэффициента c 1 – дело чисто техническое. Это дает аппарат для вычисления множества интегралов. В существенно особых точках мало шансов получить c 1 из косвенных соображений, но если это все-таки удается, то результаты получаются наиболее эффектные. Роль коэффициента c 1 в этих вопросах так велика, что для него существует стандартное обозначение.

Определение. Пусть z0 – изолированная особая точка функции f , тогда вычетом функции f в точке z0 называют c 1 и обозначают

res f , z0 c 1.

Используя это обозначение, можно записать формулу

f (z)dz 2 i res( f , z0 ) .

Здесь, как и прежде, – контур, обходящий особую точку z0 в положитель-

ном направлении и не содержащий внутри себя других особых точек. Чтобы сделать эту формулу содержательной, надо указать косвенный способ вычисления вычетов. Как было отмечено, это можно сделать, если z0 является по-

люсом. Для этого потребуется уточнение определения, фактически содержащееся в доказательстве теоремы о классификации особых точек.

Определение. Пусть z0 – полюс функции f , тогда порядком полюса называется число m такое, что cn 0, n m и c m 0 .

Теорема (формула вычисления вычетов в полюсах). Если z0 – полюс функции f порядка m , то

Следствия: формулы для вычетов в полюсах первого порядка.

Функцию f можно разложить на простейшие:

Коэффициенты разложения можно вычислить как вычеты в полюсах. Точка a является полюсом первого порядка, точка b – полюс второго порядка, точка c – полюс третьего порядка для функции f , что позволяет вы-

2. Полученное в прим. 1 разложение можно использовать для вывода формулы общего члена рекуррентной последовательности

an 6 c1an 5 c2an 4 c3an 3 c4an 2 c5an 1 c6an, n 0, 1, 2 .

Эта последовательность определяет степенной ряд

F(z) a0 a1z a2z2 anzn ,

который принято называть производящей функцией.

Обозначим Q(z) c6z6 c5z5 c4z4 c3z3 c2z2 c1z 1.

Можно проверить, что F(x)Q(x) P(x) , где

P(z) p5z5 p4z4 p3z3 p2z2 p1z p0 ,

pk ak c1ak 1 ck a0 , k 1, 2, 3, 4, 5 , p0 a0 .

24

Для получения нужной формулы достаточно разложить в степенные ряды слагаемые, и затем собрать вместе слагаемые с одинаковыми степенями z .

Разложения для слагаемых получаются из формул

Первая формула – сумма геометрической прогрессии, две другие получаются почленным дифференцированием первой.

7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

Возможность «исправлять» контур интегрирования позволяет получить важную формулу для вычисления интегралов.

Теорема о вычетах. Пусть функция f аналитична в области G за ис-

ключением конечного числа изолированных особых точек. Замкнутый положительно ориентированный контур лежит внутри области G , не проходит через особые точки функции f и внутри контура содержатся особые точки

z1, z2, , zm . Тогда справедливо равенство

m

f (z)dz 2 i res( f , zk ) .

k 1

Доказательство. Рассмотрим вспомогательный контур L , образованный контуром , маленькими (не пересекающимися) окружностями k с

центрами в точках zk и непересекающимися кривыми, соединяющими

окружности с контуром ; кривые проходятся по два раза в противоположных направлениях. Контур L не содержит внутри себя особых точек и по теореме

25