Материал: LS-Sb87079

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Коши f (z)dz 0 . Рассуждая далее как в доказательстве теоремы о разло-

L

жении в ряд Тейлора, можно показать, что

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)dz

2πi f (z)dz .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ

 

k 1γk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Остается заметить, что

f (z)dz 2πi res( f ,

zk ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры.

 

γk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. I

 

 

z2dz

 

 

2 i res( f , 2) res( f , 1) :

 

 

 

 

 

 

z 2 z

1 3

 

 

 

 

 

 

 

|z| 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2 – простой полюс, res( f ,

2) lim

 

z2

 

 

 

4

 

;

 

 

3

 

27

 

 

 

 

 

 

 

z 2 z 1

 

 

 

z 1

– res( f , 1)

lim

1 f z z 1 3 2

2

 

5

 

 

4

 

, так как это по-

 

27

 

 

 

 

z 2

2

 

 

6

27

 

 

 

 

люс третьего порядка, следовательно, I 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. I

 

e z 2 dz 2 i res

f , 2 res f ,

1 :

 

 

 

 

 

 

 

 

|z| 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

e .

 

 

 

 

 

 

 

– простой полюс, res( f , 2) lim e

z 1

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– существенно особая точка; требуется вычислять коэффициент

c 1 из разложения в ряд Лорана. Это можно сделать, разлагая в ряды сомножители

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

e

z 1

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

(z 1)n ;

 

 

 

 

 

 

1)n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0 n! (z

 

z 2

 

1

(z 1)

n 0

c

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

e –это сумма произведений коэффициентов с

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2!

n!

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

индексами, дающими в сумме 1, следовательно, I 2 i .

Прямое применение теоремы о вычетах возможно для очень специального класса интегралов – по замкнутому контуру. Но иногда замена переменной позволяет использовать эту технику для интегралов иного вида. Например, такая возможность появляется при интегрировании периодических функций по отрезку, равному длине периода (замена переменной позволяет перевести интегрирование на окружность).

26

Вычисление интегралов дробно-рациональных тригонометрических

 

 

2

P(cost,

sin t)

dt,

где P(x, y), O(x, y) – многочлены от двух пере-

функций

 

 

 

 

Q(cost,

sin t)

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

менных. Замена переменной z eit

 

позволяет свести задачу к теореме о вы-

четах. Действительно, при такой замене dz ieitdt dt dz

интегрирование

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

iz

 

 

 

 

будет происходить по окружности

 

 

. 1, а функция под интегралом превра-

 

 

 

 

тится в

отношение

многочленов

 

P z

Q z , поскольку

на

окружности

 

1

 

1

 

1

 

 

 

1

 

1

1

P (z) dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos z

 

z

, sin z

 

 

 

z

 

.

Возникший интеграл

1

 

 

можно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

z

 

2i

 

z

 

 

 

 

 

|z| 1Q1(z) iz

 

вычислить с помощью теоремы о вычетах (все особые точки оказываются полюсами). Заметим, что это предполагает отсутствие корней на единичной окружности у многочлена Q1(z) , но если это условие нарушается, то возникающий несобственный интеграл расходится.

 

 

 

 

2

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

I

 

 

 

 

, 0 a 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a cost a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

1 2a cost a2

 

 

1

 

1

 

a

2

az2 (1 a2 ) a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2a

2

z

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z dz

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

2

 

I

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 res( f , a)

 

.

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 a2

 

|z| 1 iz az2 1 a2

|z| 1 a(z a) z 1 a

 

 

 

 

Хотя область применения этого метода довольно обширна, он скорее эффектен, чем эффективен, и не дает существенных преимуществ в сравнении с универсальной тригонометрической заменой, кроме того, что сводит разложение на простейшие к вычислению вычетов.

Методы вычисления несобственных интегралов. Возможность при-

менять вычеты для вычисления несобственных интегралов чрезвычайно важна, так как дает уникальный инструмент для вычисления преобразований Фурье и Лапласа.

Неочевидна сама возможность применения теоремы о вычетах для вычисления несобственных интегралов – отсутствует замкнутый контур. Но для того чтобы несобственный интеграл сходился, необходимо, чтобы функция была мала при больших значениях аргумента. Это дает надежду на то, что замыкание конура дугой окружности большого радиуса мало изменит значе-

27

ние интеграла. Будут рассмотрены два класса функций, для которых легко обосновать возможность применение такого приема.

Интегралы от дробно-рациональных функций. Пусть P x и Q x

–

многочлены, степень P x меньше степени Q x

хотя бы на 2, и многочлен

 

P(x)dx

 

P

 

 

Q x не имеет вещественных корней. Тогда I

 

2 res

 

, zk

–

 

 

 

Q(x)

k

Q

 

 

здесь сумма распространяется по всем корням

zk

 

многочлена Q в верхней

полуплоскости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

Пусть

 

z

 

R

–

окружность достаточно

большого

 

 

радиуса, такого, что все корни многочлена Q лежат внутри нее. Тогда на ок-

ружности будет выполнено неравенство

 

 

P z

 

 

 

 

c

 

. Обозначим через Cr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q z

 

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z : Im z 0,

 

z

 

r ,

L

C

[ r, r],

 

 

P z dz

 

c

 

 

dz

 

 

2 , сле-

 

 

тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q z

 

r2

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cr

 

 

 

Cr

 

P x dx

 

 

P z dz

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

довательно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

. Причем бесконечно малая добав-

 

 

Q x

 

z

r

 

L

Q

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ка обращается в 0 при r R , так как с этого момента прекращается изменение числа особых точек внутри контура Lr , таким образом,

 

 

 

P(x)dx

 

 

P(z)dz

 

P

 

 

 

 

 

 

lim

 

2 i res

 

, zk .

 

 

 

 

 

 

 

Q(x)

 

r Lr

Q(z)

k

Q

 

Примеры.

 

 

 

 

 

 

 

 

1. I

 

dx

 

b 0 .

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x a)2 b2

 

 

 

 

 

 

 

Проверим условия применимости формулы (степень числителя на две единицы превосходит степень знаменателя). Единственный корень многочлена Q в верхней полуплоскости z1 a ib . Следовательно, I b .

dx

2.I x2 1 4 .

Единственный корень многочлена Q в верхней полуплоскости z1 i . Для интегрируемой функции это – полюс четвертого порядка. Следовательно,

28

I 2 i res( f , i)

2 i

1

 

(3)

 

i

120

|

 

 

5

.

 

 

 

 

 

 

 

 

z i

 

 

 

 

 

 

7

 

 

6

 

(z i)

4

 

3

(z i)

 

 

16

 

 

 

 

z i

 

 

 

 

 

 

Преобразования Фурье от дробно-рациональных функций.

 

 

ix P(x)

 

P

 

 

 

 

F( )

e

 

 

dx 2 res

 

, zk

,

0,

Q(x) 0.

 

Q(x)

 

 

 

 

k

Q

 

 

 

 

Здесь степень числителя должна быть меньше степени знаменателя; сумма распространяется по всем корням zk многочлена Q в верхней полуплоскости. Небольшое отличие от первой формулы состоит в ослаблении требований к степеням многочленов, что существенно расширяет класс допустимых функций, продвигая формулу в трудном направлении.

Доказательство формулы опирается на вспомогательную оценку, которая имеет устоявшееся название.

Лемма Жордана. Пусть функция g(z) непрерывна в области z >R ,

Im z > 0

и M (r) = max

 

g z

 

:

 

z

 

 

r 0, r , тогда

I

ei z g z dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r ; где Cr z : Im z 0,

 

 

 

 

 

 

r ,

 

 

 

 

 

Cr

 

0,

 

 

 

z

 

 

α 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Введем параметризацию на Cr z reit ,

0 t . За-

метим, что

 

ei z

 

e r sin t , sin t

 

 

2t

, z C , и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I M (r) e r sin tr dt 2rM (r)

 

e r sin tdt

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π 2

 

αr2t π

 

 

 

 

π

 

 

αr

 

 

 

 

 

 

 

 

2rM (r)

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt M (r)

 

1

e

 

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь доказательство формулы может быть проведено так же, как в предыдущем случае.

Заметим, что условие 0 можно заменить на 0 , но при этом надо замыкать контур полуокружностью, лежащей в нижней полуплоскости.

Пример. I

 

x 1 cos 2xdx

 

 

 

 

 

.

x

2

2x 5

 

 

 

 

29

Рассмотрим

 

 

 

(x 1)ei2xdx

, тогда I Re J ,

а интеграл J можно

J

 

2

 

 

 

 

 

 

x

 

 

2x 5

 

 

 

 

 

 

вычислить по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z 1)e

i2z

 

 

 

 

 

(z 1)e

i2z

 

 

e 4 2i .

J 2 ires

 

 

, 1

2i

2 i

 

|

z 1 2i

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2z

5

 

 

 

 

 

z2 2z 5

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, I e 4 sin 2 .

Формула обращения преобразования Лапласа. Напомним определе-

ние преобразования Лапласа

F( p) f (t)e ptdt

0

функция f (t) должна удовлетворять следующими условиям:

1)на любом ограниченном интервале функция имеет конечное число разрывов первого рода и экстремумов;

2)f (t) CeMt ;

3)f (t) 0, t 0 .

Преобразование Фурье fˆ ( ) f (t)e i tdt и преобразование Лапласа

 

 

 

 

 

 

 

 

тесно связаны: fˆ ( )

 

f (t)e i tdt

f (t)e (i )tdt F(i ) . Теперь известная

 

 

0

 

формула обращения преобразования Фурье может быть переписана для преобразования Лапласа:

1 b i

f (t) 2πi b i F( p)e ptdt .

Здесь предполагается, что b M и f непрерывна в точке t . Поскольку формулу можно применять к любой функции (лишь бы интеграл сходился), то важно знать условия, гарантирующие, что функция f принадлежит классу допустимых функций. Это обстоятельство важно при решении уравнений с помощью преобразования Лапласа. Зная лемму Жордана, нетрудно получить достаточные условия [4].

30

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных