Материал: LS-Sb87079

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Видно, что сетка прямоугольных координат переходит в семейство парабол, образующих систему криволинейных координат в плоскости w . Описанное

разбиение плоскости таково, что функция f (z) zn отображает каждый из n

секторов на всю плоскость. Описание прямого и обратного отображения вы-

глядит так:

z rei , 2 kn 2 (k 1)n w rnein rnein 0 , 0 0 2 kn

z n w rei 0 2 kn .

Таким образом, функция			f (z) zn имеет n различных обратных функ-
ций, заданных в различных секторах плоскости
z re	i	, r 0, 0 2	gk	i	1/n		e	i 2 k n	,	k 0,1, ..., n 1.
				re	r
В таких случаях говорят, что отображение многолистно.
Функция Жуковского			w z 1 z			2.		Функция		имеет собственное

название, поскольку она составила основу теории крыла летательного аппарата, созданную Жуковским (описание этой конструкции можно найти в книге [2]).

Функция обладает рядом интересных свойств, остановимся на одном из них –

выясним, на каких множествах эта функция действует взаимнооднозначно. Из равенства z1 1 z1 z2 1z2 вытекает, что z1 z2 1 1 z1 z2 0 .

Следовательно, функция Жуковского взаимнооднозначна в любой области, в которой для любых z1 и z2 их произведение не равно единице. Тако-

выми являются, например, открытый единичный круг

z :

1 и дополне-

ние замкнутого единичного круга

z :

1 .

Рассмотрим действие функции Жуковского на семейство окружностей

z : z r ei , 0 2 , тогда

iφ

e iφ

cosφ

sin φ.

Разделяя вещественную и мнимую части, получим параметрическое

уравнение эллипса:
u	1	r	1	cosφ, v	1	r	1	sin .
	2		r		2		r

Если 0 r 1, то эти эллипсы заполняют плоскость. Аналогично проверяется, что образами отрезков z : z rei , 0 r 1 , 0 2 являются гиперболы:

u2		v2		1.
cos2		sin2
	φ		φ

Показательная функция f (z) ez . Функция допускает разложение в

степенной ряд, абсолютно сходящийся во всей комплексной плоскости, следовательно, она всюду дифференцируема. Опишем множества, на кото-

рых функция взаимнооднозначна. Очевидное равенство ex iy ex i( y 2 ) показывает, что плоскость можно разбить на семейство полос, занумерованных целочисленным индексом k: z x iy : 2 k y 2 (k 1) , каждую

из которых функция взаимнооднозначно отображает на всю комплексную плоскость. Это разбиение существенно для того, что бы понять, как устроена обратная функция, точнее – обратные функции. На каждой из полос естественным образом определено обратное отображение

z x iy, x , y y0 2 k, 0 y0 2
w u iv ex i( y0 2k ) ex iy0 z x i( y 2 k), k
		0
Обратная функция и в этом случае многолистна, причем количество об-
ратных функций бесконечно.
Геометрическое описание отображения: прямые z : Im z c переходят
в лучи w reic, r 0 , отрезки z : Re z c ,	c	Im z c 2 переходят в
1	2	2
окружности w :\| w \| ec1 .

2. УСЛОВИЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Выясним условия, гарантирующие наличие производной у функции комплексного переменного, т. е. наличие предела

			lim	f (z z)	.

		z 0		z
Рассмотрим эквивалентное «вещественное» описание этого вопроса
	u(x, y)		f	u(x		x, y	y) u(x, y)
	f (z)	,				x, y	,
	v(x, y)			v(x			y) v(x, y)
где w u iv,	u u(x, y) Re f (x iy) , v v(x, y) Im f (x iy) .

Если устремить приращения аргументов к нулю, то получится следующее соотношение для дифференциалов:

Требуется выяснить, при каких условиях найдется комплексное число k такое, что df k dz , т. е.

y dx k dx .v dy dyy

Заметим, что умножение вектора на комплексное число k k ei означает растяжение с коэффициентом k и поворот на угол . Воспользуемся матричным описанием этих действий и получим равенство

y cos

v k siny

sin cos .

Из этого равенства следует требуемое условие, которое можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема (условие Коши–Римана). Функция комплексного переменного дифференцируема тогда и только тогда, когда выполнены условия Коши– Римана:

u		v	,	u		v .
x		y		y		x

Определение. Функция f (z) называется аналитической в области G ,

если в каждой точке области выполнено условие Коши–Римана.

Напомним, что областью называется любое подмножество комплексной плоскости такое, что каждая точка входит в него вместе с окрестностью (достаточно малым кругом с центром в этой точке).

Легко привести примеры функций, удовлетворяющих условию Коши– Римана в одной единственной точке, но важными являются именно аналитические функции. Только о них и будет идти речь в дальнейшем.

Из анализа доказательства условий Коши–Римана вытекает полезная геометрическая интерпретация: в малой окрестности точки аналитическая

Если l – кривая в области G , и L w : w f (z), z G , то длина кри-

вой L равна

f (z)

(кривая

L получается из кривой l «растяжением»,

f z

коэффициент растяжение в точке z равен

Если область D содержится в области G , и H w : w f (z), z D ,

то площадь области H равна

f z

2dxdy , (локальный коэффициент рас-

тяжения одинаков во всех направлениях, поэтому квадрат со стороной пе-

рейдет в квадрат со стороной	f z	).

3. Если две кривые l1, l2	лежат в области G , пересекаются в точке z0

под углом (т. е. касательные к кривым в этой точке образуют	угол ), то
образы этих кривых при отображении f пересекаются в точке	w0 f (z0)
под тем же углом .

Задача. Покажите, что элемент дуги кривой l равен dz .

Указание: введите параметрическое описание кривой z z(t) x(t) iy(t) .

Примеры.
1. Вычислим длину образа отрезка ( A, B),			A 1,	B 2 i при отображе-
нии f (z) z2 z .
Решение. f z 2z 1,	f z	2x 1 2	y2 ,	для вычисления инте-
Решение. f z 2z 1,	f z	2x 1 2	y2 ,	для вычисления инте-

грала надо ввести параметризацию кривой:

l z(t) x(t) iy(t) : x(t) t, y(t) t 1, 1 t 2 ,

x t

dt 2dt.

Теперь можно вычислить длину образа:

f z

(2t 1)2 t2

2dt 4,272 .

2. Вычислим площадь образа квадрата ABCD, A 0, B 1, C 1 i, D i при отображении f (z) z3 .

Решение.

f z

3z2

y2 2ixy

9 x2

y2 2 4x2 y2 , пло-

1 1

x2 y

2 2 dxdy 5,6.

щадь равна

f z

2dxdy 9

ABCD

0 0

3. Образ квадрата AB C D, A 2, B 3, C 3 i, D 2 i при дробно-

линейном отображении:

w f (z),

f (z) i z 2 i .

z 1 i

3,3

2,8

D""

C""

2,3

B""

D"'

C""

1,8

A"'

1,3

C"'

0,8

B"'

0,3

1,3

–0,2

1,8

2,3

2,8

–0,7

0,3

0,8

–0,7

–1,7

Чтобы контролировать отображения надо выяснить, во что перейдут прямые, составляющие границы квадрата. Эта задача сводится к рассмотренной ранее инверсии, если предварительно разложить дробно-линейную функцию на компоненты

			w i			1 2 i	,
			w i		z 1 i		,
					z 1 i
z z z 1 i z		2	1 z	z 1 2i z				2	z	4	z	i w.
1		2	1			3		2		4	3
Обозначим z x iy;	z1 x1 iy1;					z2 x2 iy2;			z3 x3 iy3;				z4 x4

iy4 . Действительная x и мнимая y части с соответствующими индексами

функция действует как линейная, при этом

f z – сдвиг,

– локальный

коэффициент растяжения, а

локальный угол поворота, осу-

ществляемый отображением f

в точке z .

Следствия. Пусть функция f аналитическая в области G тогда:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных