Материал: LS-Sb87079

являются координатами образов точки z, получаемых в результате последовательных преобразований.

Построим изображения квадрата, выписывая формулы преобразования координат для каждого шага (см. рисунок). Вершины квадрата и их последовательные образы будем обозначать одними и теми же буквами AB C D, с

после первого шага отображения, и т. д. Цифра внутри квадрата обозначает номер преобразования, 0 – исходный квадрат. Вообще говоря, квадрат будет получаться криволинейным, но углы при вершинах будут оставаться прямыми. Будет также сохраняться ориентация квадрата: внутренность квадрата на каждом изображении будет находиться слева от точки, движущейся по границе в направлении от A к B .

Шаг 1. Формулы преобразования координат:

Данное преобразование задает инверсию. Заметим, что отрезки AB , BC и D A переходят в дуги окружностей, отрезок CD сохраняется прямолиней-

Это преобразование задает поворот вокруг начала координат на угол arctg 2

против часовой стрелки и растяжение в 5 раз. Шаг 4. Формулы преобразования координат: x4 x3; y4 y3 1.

Это преобразование задает сдвиг на единицу вверх по оси y.

4. Вычислим периметры последовательных изображений квадрата A BC D из предыдущего примера (обозначения сохраняются).

Периметр изображения 1 равен периметру изображения 0: p1 p0 4 .

11

Вычислим периметр изображения 2 – криволинейного квадрата

A B C D :

Изображение 3 получается из изображения 2 поворотом и растяжением

в5 раз, а изображение 4 – сдвигом изображения 3. Поэтому

p4 p3 5 p2 4,1121.

3.ИНТЕГРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Врамках рассматриваемых здесь вопросов важны криволинейные интегралы второго рода от функции комплексного переменного. Такой интеграл не требует специального определения, так как он легко сводится к паре криволинейных интегралов от функций вещественного переменного:

f (z)dz u(x, y) iv(x, y) (dx idy)

u(x, y)dx v(x, y)dy i u(x, y)dy v(x, y)dx ,

для вычисления, которых требуется провести параметризацию кривой Г: x x(t), y y(t), a t b, и вычислить определенные интегралы:

Как обычно, компактная формула векторного анализа при переходе к вычислению превращается в длинное описание. Переход от произвольной функции комплексной переменой в общем случае не меняет ситуации. Однако для замкнутых контуров картина резко меняется.

Чтобы достоверно описать это утверждение, нужно уточнить терминологию.

Определение. Область комплексной плоскости называется односвязной, если любой замкнутый путь в этой области можно стянуть в точку, не выходя из области.

Пример. D z : z z0 r – открытый круг, P z : Im z 2 – открытая полуплоскость, множество G z : z z0 r не является открытым, так

как все точки его границы не обладают требуемым свойством, множество T z : Im z 2 2i не является открытым, так как в точке z 2i не выполнено требуемое свойство. Все перечисленные множества являются односвязными. Область K z : z z0| r (кольцо) – односвязная, как и множе-

ство D0 z : 0 {z z0| r (проколотый круг).

Теорема Коши. Пусть G – односвязная область, – замкнутый контур внутри области. Тогда интеграл от аналитической в области G функции f (z)

контуру равен нулю: f (z)dz 0.

ственной и мнимой частей интеграла.

Первое важное следствие теоремы Коши – формула, дающая интегральное представление аналитической функции.

Следствие (формула Коши). Если f аналитическая функция в односвязной области G , – положительно ориентированный замкнутый контур,

13

Доказательство. Простое, но очень важное доказательство этой формулы, вытекающей из теоремы Коши, основано на независимости интеграла от выбора контура. В формуле Коши подынтегральная функция является аналитической всюду, кроме точки z0 .

Покажем, что интеграл по контуру равен интегралу по контуру

другой стороны все такие интегралы равны интегралу по контуру . Следовательно,

Формула Коши позволяет получить много интересной и полезной информации об аналитических функциях. Первый шаг в этом направлении – формула для производных аналитических функций.

Следствие (формула для производных). Если f – аналитическая функция в области G , – положительно ориентированный замкнутый контур, лежащий в области, и точка z0 находится внутри контура, то функция имеет в этой точке производные всех порядков, причем справедливо равенство

f n z0 2n!i z z0 n 1 dz .

Легко дать прямое доказательство этой теоремы, но важно понимать, что формула является следствием теоремы о дифференцировании интеграла по параметру.

14