Материал: 6593

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

141

∞		1			y
D(x) = ∫	2						2
	[y − x]	x	exp	−		dy = x		.

0					x

Для того чтобы определить, является ли оценка достаточной, сравним функцию правдоподобия с выражением (5.2.9).

Видим, что h (y)= 1, а функция f [xˆ(y), x] =	1 exp(−	y	) за-

	x	x

висит только от x и xˆ(y) = y . Функция правдоподобия выборки может быть представлена в форме (5.2.9), и оценка xˆ(y) = y является достаточной.

Полученное ранее выражение	∂lnW (y / x) =		1	(y − x)

	∂x		x2
сравним с выражением (5.2.10). Полагая k(x) =1/ x2		и подстав-
ляя полученные нами выражения xˆ(y) = y и m(x)=x,		видим, что

производная от логарифма функции правдоподобия может быть представлена в виде (5.2.10), и, следовательно, оценка макси-

мального правдоподобия xˆ(y) = y является эффективной.

Информацию Фишера находим по формуле (5.2.3)

∞

y 1

2 2 1

IF (x) = ∫

exp

−

(y − x)

dy =

−

x x

Видим, что неравенство Рао-Крамера (5.2.8) обращается в равенство. Этого и следовало ожидать, так как мы уже показали, что оценка эффективна. Лучшей оценки, т.е. обладающей меньшей дисперсией при отсутствии систематической ошибки, не существует.

Пример 5.2.2. Система независимых случайных величин Y (1) ,...,Y (n) распределена нормально с одинаковым среднеквад-

ратическим отклонением σ и одинаковым, но неизвестным ма-

тематическим ожиданием x.

а) Найти выражение для максимально правдоподобной оценки математического ожидания x .

б) Найти смещение и дисперсию этой оценки.

в) Определить потенциальную точность оценки величины математического ожидания x .

142

Решение. Функция правдоподобия выборки y(1) ,..., y(n) равна

(1)

(n)

(k )

/ x) = ∏

W (y

,..., y

exp −

− x)

2σ

2πσ

k =1

(k )

exp −

∑(y

− x) .

(2πσ

)

n / 2

2σ

k =1

Запишем уравнение правдоподобия и преобразуем его к удобному виду

∂lnW (y(1) ,...., y(n) / x)

∂

(k )

−

ln(2πσ

) −

∑(y

− x)

∂x

2σ

∂x

k =1

(k )

n 1

(k )

∑

− x)

∑y

− x

= 0.

k =1

n k =1

Решением уравнения является значение

xˆ(y(1) ,..., y(n) ) =

1 ∑y(k ) .

n k =1

Таким образом, максимально правдоподобная оценка математического ожидания х равна выборочному среднему.

По формуле (5.2.4) найдем математическое ожидание самой оценки

∞			∞	1n	n
m(x) = ∫	... ∫			1n	∑=	y(k )
−∞		−∞			k 1
n	1						1
∏	1				exp[−		1
							2σ	2
			2πσ					2
κ=1			2πσ

(y(k ) − x)2 ]dy(1) ...dy(n) = 1 ∑n x = x, n k =1

так как математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий. Таким образом, смещение оценки равно нулю.

Дисперсия оценки может быть найдена непосредственно по формуле (5.2.6) либо же следующим, более простым способом.

Величина ∑y(k ) является суммой n независимых случайных

k =1

величин, причем дисперсия каждого из слагаемых равна σ 2 .

143

Тогда дисперсия этой суммы равна nσ 2 , и тогда дисперсия оценки D(x) =σ 2 n.

Вычисление информации Фишера, содержащейся в выборке, удобно произвести с использованием свойства аддитивности

		n
	IF (x) = ∑IF (x)k
где		k =1
где
∞		∂lnW (y	(k )
IF (x)k = ∫
IF (x)k = ∫	W (y(k ) / x)
−∞		∂x

/ x) 2 dy(k ) = σ12 .

Неравенство Рао-Крамера обращается в равенство, и, следовательно, найденная нами оценка достаточна и эффективна.

Пример 5.2.3. На интервале времени (0,Т) принимается сигнал Y (t) = s(t −τ) + Z(t),

где s(t −τ) – сигнал известной формы, но с неизвестной задержкой τ мкс,

Z(t) – белый нормальный шум со спектральной плотно-

стью N0 .

Найти потенциальную точность оценки временной задержки τ .

Решение. По определению (5.2.2) информация Фишера

численно равна
I		(τ) =	∂2 I(τ	;τ	2	)	приτ		=τ		=τ,
	F		1		2			1		1
			∂τ2
			∂τ2
			2

где I(τ1 :τ2 ) – средняя информация для различения в пользу гипотезы Н1 (передан сигнал s(t −τ1) ) против гипотезы Н2 (передан сигнал s(t −τ2 ) ). Эту величину мы вычисляли в примере 5.1.3, где получили

I(τ1 :τ2 ) = 1 T∫[s(t −τ1) −s(t −τ2 )]2 dt .

N0 0

Дифференцируем эту функцию дважды по τ2 :

144

∂I(τ1 :τ2 ) =

∂s(t −τ2 )

2[s(t −τ1) −s(t −τ

2 )] −

dt ,

∂τ2

∫0

∂τ2

∂ I(τ

:τ

)

∂s(t −τ

)

−[s(t −τ1) − s(t −τ2 )]

∂ s(t −τ

)

dt .

∂τ2

∫0

∂τ2

Полагаем далее τ1 =τ2

=τ и получаем

∂s(t −τ)

IF (τ) =

∫

∂τ

ì êñ

Применяя неравенство Рао-Крамера, получим для дисперсии несмещенной оценки параметра

D(τ) ≥		N0			мкс2.
	T	∂s(t −τ)	2

	2∫			dt
		∂τ
	0

ЗАДАЧИ

5.2.1.Случайная величина распределена нормально с известным средним значением и неизвестной дисперсией. Найти потенциальную точность несмещенной оценки дисперсии.

5.2.2.Решить задачу 5.2.1 в предположении, что имеется n независимых реализаций случайной величины.

5.2.3.Случайная величина Y распределена равномерно на интервале известной длины, но с неизвестным средним зна-

чением x . Показать, почему в задаче оценки параметраx не может быть использовано неравенство Крамера-Рао.

5.2.4. Найти потенциальную точность оценки направления на источник при помощи двухантенного фазового пеленга-

тора, если разность фаз на входе фазометра равна

ϕ = 2πλd α ,

где d – база пеленгатора,

λ -длина волны,

145

α — угол между нормалью к плоскости антенн и направле-

нием на источник.

Ошибка измерения разности фаз распределена нормально с нулевым средним и среднеквадратическим отклонением 2°.

5.2.5. Найти потенциальную точность оценки допплеровского сдвига частоты од узкополосного сигнала известной формы

S(t) = S0 (t)cos(ω0 +ω∂ )t .

Шум на входе измерителя – белый аддитивный нормальный со спектральной плотностью N0.

5.2.6. Найти потенциальную точность оценки амплитуды А прямоугольного импульса длительности τ , принимаемого на фоне аддитивного белого нормального шума со спектральной плотностью N0.

5.2.7. Найти потенциальную точность оценки начальной фазы ϕ прямоугольного радиоимпульса длительности τ

S(t) = Acos(ω0t +ϕ) , t1 ≤ t ≤ t1 +τ ,	ω0		1
			τ

принимаемого на фоне аддитивного белого нормального шума со спектральной плотностью N0.

5.2.8. Производитcя однократное бросание монеты неправильной формы:

а) найти максимально правдоподобную оценку вероятности р выпадения герба;

б) вычислить смещениё и дисперсию такой оценки, предполагая, что истинное значение р = 0,4;

в) определять, является ли оценка эффективной.

5.2.9.Решить задачу 5.2.8. для случая, когда производится n независимых бросаний монеты.

5.2.10.Производится однократное бросание шестигранной

игральной кости неправильной формы.	Пусть p1,..., p2 -
вероятности выпадения соответствующего	количества	очков.

Если выпало очков, считают, что p j =1, а	pk = 0 (k≠	j) . Яв-

ляется ли такая оценка эффективной?

5.2.11 . Система n случайных величин имеет нормальное

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия