Материал: 6251

x2

x(t f )

x(t′)

x(t0 )

x1

x3

Рис. 4.4. К принципу оптимальности.

Принцип оптимальности гласит, что любая конечная часть оптимальной траектории является, в свою очередь, оптимальной траекторией. Это означает, что траектория от некоторой промежуточной точки x(t′) до конечной точки x(t f ) является оптимальной, то есть обеспечивает мак-

симум критерия R′ = t∫f r(x,u,t)dt . Действительно, предположим, что это

t'

не так, а, следовательно, есть какая-то другая траектория (на рис. 4.4 показана штриховой линией), доставляющая максимум функционала R′ . Но тогда и первоначальная траектория вопреки предположению не являлась оптимальной, поскольку критерий оптимальности, состоящий из суммы двух частей – максимальной на отрезке траектории от точки x(t0 ) до точки x(t′) и не максимальной – от точки x(t′) до точки x(t f ), принимал бы не максимальное значение.

Изложенное выше справедливо, конечно, и для систем, в которых время разбито на дискретные шаги (этапы).

251

Таким образом, оптимальная стратегия зависит только от состояния объекта в рассматриваемый момент времени и не зависит от того как объект попал в это состояние, то есть не зависит от его предыстории.

Принцип оптимальности, описывающий основные свойства оптимальных стратегий, использует в качестве своей исходной точки концепцию инвариантного вложения, согласно которой решение исходной сложной задачи заменяется некоторым количеством аналогичных более простых задач.

Если речь идёт о многошаговых процессах оптимизации, то такой подход сводит исходную задачу к последовательному решению одношаговых процессов оптимизации. В многошаговом процессе оптимизации полных выигрыш для N шагов, согласно принципу оптимальности, можно представить в виде

RN = r(x1,u1 )+ RN−1(x1,u1 ).

Первое слагаемое в этом выражении – начальный выигрыш, второе слагаемое – максимальный выигрыш от последующих N-1 шагов.

Максимальный выигрыш запишется как

Таким образом, принцип оптимальности позволяет исходный N шаговый процесс заменить последовательностью одношаговых процессов и на каждом шаге использовать одно и то же рекуррентное соотношение (4.4.1).

Пример 4.4.1. Пусть требуется положительную величину с разделить на n частей так, чтобы их произведение было максимальным.

Обозначим через Rn (c) максимальное значение произведения, x –

первая часть, (c − x) – оставшаяся часть. Тогда, используя соотношение

(4.4.1), можно составить функциональное уравнение

Очевидно, что при n=1

R1 (c)= c и R1 (c − x)= c − x .

Положим в уравнении (4.4.2) n=2:

Максимум найти нетрудно, приравняв нулю производную по x от вы-

ражения в фигурных скобках. Этот максимум будет при x = c2 . Таким

образом, оптимальная стратегия деления на две части – это деление на две равные части

253

{ }= c , c , ui 2 2

Положим n=3. Максимальное произведение найдем из соотношения

Взяв производную и приравняв её нулю, получим x = 3c . Оставшаяся

часть в 23 c , согласно предыдущему рассуждению, оптимально будет

разделена на две равные части, то есть на 3c и 3c .

Оптимальное деление на три части будет, таким образом

Продолжая подобные рассуждения, приходим к выводу, что при n=k оптимальным делением будет деление на k равных частей

254

а максимальное произведение будет

( )= c k .

Rk c k

Методом математической индукции можно доказать, что оптимальным делением будет деление на равные части и при n=k+1. Действительно, полагая n=k+1, из соотношения (4.4.2) получим

и максимальное произведение равно

255