Материал: 551

130

Температурный коэффициент удельного сопротивления вольфрама при 20 оС равен 5 10–3 К–1.

Решение

С учетом линейной зависимости сопротивления металлического проводника от температуры имеем: R2 = R1[1+αR (T2 −T1 )],

где R1, R2 – сопротивления при комнатной температуре T1 и при температуре T2 соответственно. Для вольфрама можно считать, что αR ≈αρ . Сопротивление нити лампочки в рабочем режиме

провода круглого сечения диаметром d = 1 мм на частоте f =10 МГц больше сопротивления Ro этого провода постоянному

электрическому току.

Решение

Глубина проникновения электромагнитного поля в провод-

магнитная проницаемость материала. Поскольку медь диамагнитна, µ =1. Тогда для меди на частоте 10 МГц

Как видно, ∆ << d , т.е. сильно выраженный поверхностный эффект, а в этом случае коэффициент увеличения сопротивле-

131

ния провода круглого сечения обратно пропорционален отношению площадей, по которым протекает ток.

7 Определить сопротивление шайбового высокочастотного резистора, изготовленного из пленки углерода с удельным по-

Решение

Ток через такой резистор проходит радиально по резистивной пленке. Выделим в пределах резистивного элемента узкий кольцеобразный

участок шириной dx , имеющий координату x , отсчитываемую от центра. Сопротивление этого участка dRx = 2ρπdxxδ , где δ –

толщина пленки, δρ = ρS – сопротивление квадрата резистивной

пленки.

Сопротивление резистивного элемента, расположенного с одной стороны диэлектрического диска с отверстием (шайбы):

Резистор содержит два таких элемента, включенных параллельно, т.е. сопротивление резистора R = Rэ 2 = 20 Ом.

8 Определить время, в течение которого электрон пройдет расстояние 1 км по медному проводу, если удельное сопротивление меди 0,017 мкОм м, а разность потенциалов на концах проводника = 220 В.

132

Решение

Из закона Ома следует, что удельная проводимость γ = envE . Концентрация свободных электронов в меди:

n = d NA0 = 8,45 1028 м−3 , где d = 8920 кг/м3 – плотность меди,

A = 63,54 10−3 кг/моль, N0 −число Авогадро. Тогда средняя скорость дрейфа электронов v = E(ρen)=U(ρenl)= 9,6 10−4 м/с.

1.2 Магнитные материалы

9 При насыщении магнитная индукция чистого железа B = 2,2 Тл. Учитывая, что элементарная ячейка кристаллической решетки железа представляет собой объемно-центрированный куб с ребром a = 0,286 нм, рассчитать магнитный момент, при-

приходящихся на одну ячейку. В случае объемно–

133

µБ = 9,27 10−24 Дж Тл–1, то величина магнитного момента в магнетонах бора:

Полученный результат показывает, что в кристаллической решетке железа число нескомпенсированных спинов в расчете на один атом меньше, чем в свободном атоме железа, магнитный момент которого M Fe = 4µБ .

10 В сердечнике трансформатора суммарные удельные магнитные потери на гистерезис и на вихревые токи при частотах 1 и 2 кГц составляют соответственно 2 и 6 Вт/кг (при неизменной максимальной индукции в сердечнике). Рассчитать магнитные потери на вихревые токи в сердечнике на частоте 2 кГц.

Решение

Суммарные потери за один цикл перемагничивания линейно зависят от частоты:

Pa = PГ + PT =ηBmn f +ξBm2 f 2 , где η, n и ξ – коэффициенты, зависящие от свойств материала и формы сердечника и не зависящие от частоты, Bm – максимальная магнитная индукция в

сердечнике, достигаемая при работе трансформатора. Запишем для двух частот:

легко сделать из приведенной системы двух уравнений с двумя неизвестными ηBmn и ξBm2 .

11 Найти индуктивность соленоида, имеющего 200 витков, намотанных на диэлектрическое основание, длиной l = 50 мм. Площадь поперечного сечения основания S = 50 мм2. Как изменится индуктивность катушки, если в нее введен цилиндриче-

134

ский ферритовый сердечник, имеющий магнитную проницаемость µ = 400 ?

Решение

Индуктивность соленоида, длина которого велика по сравнению с диаметром:

1.3 Диэлектрики

12 Между пластинами плоского конденсатора без воздушных промежутков зажат лист диэлектрика толщиной h =1 мм. На конденсатор подано напряжение U =200 В. Определить поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора σ1 и

на диэлектрике σ Д . Диэлектрическая проницаемость равна

шести.

Решение

Вследствие поляризации диэлектрика при подключенном источнике постоянного напряжения на пластинах конденсатора удерживается дополнительный заряд σ Д , так что σ1 =σ Д +σ0 ,

где σ0 = ε0 Е– поверхностная плотность заряда на пластинах

конденсатора в отсутствие диэлектрика. Тогда

σ1 = ε0εЕ = ε0εU h = 8,85 10−12 6 200 10−3 ≈10−5 Кл/м2;

σ Д = P = ε0εE −ε0 E ≈ 8,85 10−12 5 20010−3 ≈ 8,85 10−6 Кл/м2.

13 Композиционный термокомпенсированный (т.е. материал с температурным коэффициентом диэлектрической проницаемости равным нулю) керамический материал изготовлен на основе двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостя-

ми ε1 =40; ε2 = 80 и αε1 = 2 10–4 К–1; αε 2 = –1,5 10–3 К–1. Предпо-

135

лагая хаотическое распределение компонентов, определить состав керамики и диэлектрическую проницаемость ее.

Решение

Используем формулу Лихтенеккера ln ε = Θ1 ln ε1 + Θ2 ln ε2 , где Θ1 и Θ2 – объемные концентрации компонентов.

Температурный коэффициент диэлектрической проницаемости композиционного диэлектрика можно вычислить, продифференцировав формулу Лихтенеккера: αε = Θ1αε1 + Θ2αε 2 .

Так как материал термокомпенсированный, αε =0.

Решая систему уравнений

Θ1αε1 +Θ2αε2 = 0,

Из формулы Лихтенеккера, подставляя Θ1 и Θ2 , получим

ε =43,4.

14 Две противоположные грани куба с ребром а = 10 мм из диэлектрического материала с удельным объемным сопротивлением ρV =1010 Ом м и удельным поверхностным сопротивлени-

ем ρS =1011 Ом на квадрат покрыты металлическими электродами. Определить ток, протекающий через эти грани куба при постоянном напряжении U0 =2 кВ.

Решение

Электрический ток протекает как через объем куба, так и по поверхности четырех боковых граней. Поэтому сопротивление между электродами определяется параллельным соединением объемного сопротивления и поверхностных сопротивлений четырех граней. Так как объемное сопротивление вычисляется по

формуле RV = ρV Sl , а поверхностное сопротивление определя-

ется как RS = ρS dl , где l, d, S – длина, ширина и площадь попе-

речного сечения образца.

136

15 В дисковом керамическом конденсаторе емкостью 100 пФ, включенном на переменное напряжение100 В частотой 1МГц,

рассеивается мощность Pa =10−3 Вт. Определить удельные потери в диэлектрике, если его диэлектрическая проницаемость равна 150, электрическая прочность Eпр = 10 МВ/м и запас по

электрической прочности К =10 .

Решение

Удельные потери рассчитываются на объем рабочего ди-

электрика конденсатора: p = ShPa , где S, h – площадь обкладки и

толщина диэлектрика соответственно. Толщину диэлектрической пленки находим из условия обеспечения электрической

прочности: K = UUпр = EUпрh для постоянного напряжения или

K = UEпрh2 для переменного.

Площадь обкладок может быть определена из выражения для емкости плоского конденсатора:

σ1 =105 Н/м2. Определить разность потенциалов между противоположными плоскостями пластины, если в направлении оси X пьезомодуль продольного пьезоэффекта d11 = 2,3 10−12 Кл/Н.

Диэлектрическая проницаемость кварца равна 4,6.

Решение

В соответствии с уравнением прямого пьезоэффекта P1 = d11σ1 . Для плоского однородного диэлектрика при равно-

мерной механической нагрузке заряд на поверхности равен Q = PS . Разность потенциалов между плоскими гранями опре-

делим, воспользовавшись зависимостью между величиной емкости конденсатора, площадью его обкладок и разностью по-

17 Конденсатор емкостью 200 пФ, изготовленный из пленки полистирола, заряжен до напряжения 100 В, а затем отключен от источника напряжения. Измерения, проведенные через 5 суток, показали, что на выводах конденсатора сохранилось напряжение 10 В. Пренебрегая поверхностной утечкой, определить сопротивление изоляции конденсатора и удельное объемное сопротивление полистирола. Диэлектрическая проницаемость полистирола равна 2,5.

Решение

Изменение напряжения на выводах конденсатора в процес-

се саморазряда описывается выражением UC (t) =UC (0)exp − t ,

τC

138

где UC (0) −напряжение, до которого был заряжен конденсатор;

1.4 Полупроводники

18 Найти положение уровня Ферми в собственном германии при 300 К, если известно, что ширина запрещенной зоны ∆E = 0,665 эВ, а эффективные массы плотности состояний для дырок валентной зоны и для электронов зоны проводимости соответственно равны: mV =0,388 m0 ; mC = 0,55 m0 , где m0 – мас-

са свободного электрона.

Решение

Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике

где Ei – уровень, соответствующий середине запрещенной зоны; Nc , Nv – эффективная плотность состояний для дырок ва-

лентной зоны и для электронов зоны проводимости соответственно.

чим: Nv = 6,04 1024 м–3, Nc =1,02 1025 м–3. Таким образом,

= –6,78 10–3 эВ.

Из-за малых значений энергия в физике полупроводников, как правило, вычисляется вэлектрон-вольтах (эВ). 1 эВ= 1,6 10–19 Дж.

Таким образом, уровень Ферми в собственном германии при комнатной температуре расположен на 6,78 мэВ ниже середины запрещенной зоны.

19 Вычислить собственную концентрацию носителей заряда в кремнии при T = 300 К, если ширина запрещенной зоны ∆E = 1,12 эВ, а эффективные массы плотности состояний mc =1,05m0 , mv = 0,56m0 .

Решение

Собственная концентрация носителей заряда

Эффективная плотность состояний для электронов в зоне проводимости и для дырок в валентной зоне

20 Вычислить положение уровня Ферми при T = 300 К в германии, содержащем 2 1022 м–3 атомов мышьяка и 1022 м–3 атомов галлия. Эффективная масса плотности состояний в зоне проводимости mC = 0,55 m0 .

Решение

Галлий (элемент 3 группы) является донором для германия, а мышьяк (5 группа) – акцептором. Так как N Д > N А , то такой

частично компенсированный полупроводник обладает электропроводностью n -типа. При этом избыточная концентрация доноров N′Д = N Д − N A . При комнатной температуре все примеси

ионизированы, поэтому концентрация электронов n в зоне про-