Материал: 493

Заметим, что в формуле нужно согласовать друг с другом размерности интенсивности движения и интервала t. Для согласования приведем интервал t, сек к размерности t, час: 90 с = 90/3600 = 0,025 ч.

Подставляем в формулу p(n) закона значения , t, варьируем n, и вычисляем вероятности p (частости). Получаем несимметричную функцию распределения вероятности, показанную на рис. 19.

Для нормального закона переменная изменяется в диапазоне – … + , а для закона Пуассона переменная n изменяется от 0 до ограниченного значения. Если для нормального закона имеет место симметричное распределение, то распределение Пуассона является несимметричным.

Распределение отражает, что при увеличении интенсивности движения, возрастает частость прохождения через сечение небольшого числа автомобилей. То есть, очередь из автомобилей перед светофором сначала заполняется быстро, а затем медленно. Число автомобилей в очереди, рассчитанное по нормальному закону, меньше, чем число автомобилей, рассчитанное по закону Пуассона. Следовательно, рассчитывая фазы работы светофора по нормальному закону, мы получим постепенное накопление очереди автомобилей, которые не успеют покинуть перекресток за заданный интервал времени.

Рис. 19. Вероятности (частости) прохождения n автомобилями сечения дороги при интенсивностях 1 – 200, 2 – 400 и 3 – 600 авт/ч за время 1,5 мин

Рассмотрим теперь, для каких потоков справедливо распределение Пуассона.

В качестве примера возьмем четырехполосную, прямолинейную магистраль при интенсивностях движения до 500 авт/ч. По одной полосе магистрали интенсивность движения составляет 500/4 = 125 авт/ч. По данным Красникова А.Н. для такой магистрали распределение Пуассона применимо (рис. 20).

На рис. 20 представлена зависимость частости временных интервалов от интервалов.

26

Интервалы времени t связаны с числом n автомобилей, проходящих через сечение дороги за время T. Пусть интенсивность потока равна 400 авт/ч. В среднем автомобили следуют через интервал 9 с: 1/ = 3600/400 = = 9 с. За время T = 90 с через сечение пройдет 10 автомобилей:

n = T/t = 90/9 = 10 авт.

Экспериментальные данные отражены на графике точками. Рассчитанное распределение показано кривой 1. Легко видеть, что экспериментальные данные хорошо описываются законом Пуассона. При этом распределение частот имеет несимметричную форму.

На двухполосных дорогах распределение Пуассона применимо при интенсивности до 100 авт/ч по одной полосе. На шестиполосных дорогах распределение применимо при интенсивности до 1100 авт/ч (183 авт/ч по одной полосе).

В среднем получаем, что распределение Пуассона справедливо при интенсивности менее 180 авт/ч на одной полосе движения, то есть применимо для свободного потока типа А.

Рис. 20. Распределение временных интервалов между автомобилями при интенсивностях 1 – 400 и 2 – 1160 авт/ч

Для оценки справедливости распределений применяют критерий Романовского В.И., который построен на статистическом критерии согласия 2 (читается хи квадрат). Критерий 2 показывает, насколько расчетная кривая отличается от экспериментальной кривой. Чем меньше площадь, заштрихованная на рис. 20, тем меньше значение критерия 2.

Критерий Романовского В.И. рассчитывают по формуле:

R = ( 2 – )/ (2 ),

где – число степеней свободы. Число степеней свободы соответствует числу неизвестных в функции p( , t, n). Для закона Пуассона = 1.

27

Если величина R < 3, то считают: расчетная и экспериментальная кривые отличаются не существенно. Если R 3, то различие существенно, и данное распределение применять не корректно.

Для интенсивности = 400 (кривая 1) имеем R = 1,8 – различие не существенно. Для интенсивности = 1160 (кривая 2) фактическое распределение становится более несимметричным, имеет явно выраженный максимум. Такое распределение не описывается законом Пуассона: имеем критерий R = 9,4.

6.2. Применение поправок к закону Пуассона

Для расширения области применения распределение Пуассона используют поправки к формуле p( , t, n).

1)Вводят коэффициент в степень экспоненты: p = e– t ( t)n/n!.

2)Прибавляют в экспоненту функцию влияния p, учитывающую

условия движения:

p= e– t + p ( t)n/n!.

3)Учитывают естественную ограниченность временного интервала: p = e–k t ( t)n/n!, где k = (t – tmin)/(tср – tmin),

где tср – среднее значение интервала, заданное интенсивностью ; tmin – минимальное значение интервала между автомобилями.

Распределение 3), получаемое при учете ограниченности временного интервала, называют смещенным распределением.

По данным Красникова А.Н. введение коэффициента позволяет добиться лучших результатов, показанных на рис. 21.

28

Рис. 21. Распределение временных интервалов, рассчитанное с поправочным коэффициентом : 1 – = 0,5; 2 – = 1; 3 – = 1,5

Если = 1, то имеем обычное распределение Пуассона. Если < 1, то максимум на диаграмме становится меньшей величины, а при > 1 – большей величины.

Однако введение указанных поправок не позволяет существенно расширить область применения распределения Пуассона. Например, одновременное введение коэффициента и применение смещенного распределения позволят описывать распределения лишь до интенсивности 250 авт/ч на двухполосных дорогах (125 авт/ч на полосе).

6.3. Распределение Пирсона III типа

Для описания интервалов между автомобилями иногда используют логарифмический закон распределения. Распределение отличается высокой асимметричностью, применяется при образовании пачек автомобилей (уровень удобства B).

Более широкое применение получило распределение Пирсона III типа. Закон описывает вероятность распределения интервалов времени

между автомобилями следующей функцией: p = ak e–a t tk–1/Г(k),

где p – вероятность или относительное число интервалов. k, a – коэффициенты; t, с – интервал времени;

Г(k) – гамма функция (в формуле константа).

Значение функции Г(k) легко вычисляется численным интегрированием по x от 0 до 50. Это значение мало изменяется, и

примерно равно 0,9. Среднее значение интервала равно tс = k/a, дисперсия

= k/a2.

На рис. 22 и 23 показаны в качестве примера функции Пирсона при

29

варьировании коэффициентов k и a.

Рис. 22. Распределение интервалов времени между автомобилями, рассчитанное по закону Пирсона типа III для a = 0,3:

1 – k = 1,4; 2 – k = 1,5; 3 – k = 1,6; 4 – k = 1,7

Запишем значения коэффициентов для рис. 22:

a = 0,3; k = 1,4, 1,5, 1,6, 1,7; tс = 4,67, 5, 5,33, 5,67;

= 15,6, 16,7, 17,8, 18,9; Г = 0,887, 0,886, 0,893, 0,909.

Запишем значения коэффициентов для рис. 23:

k = 1,7; a = 0,2, 0,25, 0,3, 0,35; tс = 8,5, 6,8, 5,67, 4,86;

= 42,5, 27,2, 18,9, 13,9; Г = 0,909.

Рис. 23. Распределение интервалов времени между автомобилями, рассчитанное по закону Пирсона III типа для k = 1,7:

1 – a = 0,2; 2 – a = 0,25; 3 – a = 0,3; 4 – a = 0,35

Это распределение применимо на дорогах с двумя полосами и интенсивностью движения до 650 авт/ч, на автомагистралях с четырьмя

30