Материал: 490

6. Ангар мас форму параболjчно;-о

ниліндра довжиною 50 м.. шириною 20 м. і

висотою по uентру І Ом. Скі.1ьки rютрібно

матеріалу на його покrитгя.

3

у

Розu'язок

х

Систему координат і ангар в ній

розмішасмо так . як показано на рис. l 5 .

Рис.14

Рівняння поверхні записусмо у внг:шді

z = -ах2 + Ь . Невідомі сталі а і в

знахо.zп.шо із умови :

Z( =О; у =О)= 10

Z (х ""10; у =О) =О. Тоді

в =10 ,а =0.1 і рівняння поверхні

z =10-0.1 х2.

ГІ.1ощу поверхні знайдемо за формулою Р= fJ~!=-(z: )'~z; Jdxdy.

D

У нашому прикладі

50

10 г-----

HJ

:

ГІ )

=1479(т' ).

Р=2fdy f-V1+0,04x 2 dx=20 J-v25+x'dx~2so(2.;5-.-/n2+,•5i

о

о

о

7. а) Обчис:шти криво~rініlіний інтсгр<Ll

Jydx, якшо АОВ є дуга нарабопи х ~;.

АОВ

що з'єднує на п.1ощині точки А(-1,1) і В(І,1)

Користуючись в::астивостями

криволінійного інтеграла маємо (рис. J б}:

у

Jydx =

Jydx + Jydx. Д)таЛО описана

АОВ

.40

ОВ

1міної у . Мзсмо : d-.: = (у1 Jdy"" 2ydy

f

i·d• =

І

i·2 1·1/1· =

2 }'З! І

=

4 .

J

--=---:

3

АО~

, •

• •

3 ' 1

J=---2

2

.1с L • пшколо: х =а cost

1·:d<-x2d1•

.

--- · ,

І. Х +_І"

у =а sint

і

О.<:/ :S' п

. Зна•Jсння х,у,

dx= -а sint dt, dy =а cost dt підстаюясмо в

х

вира.~ під знаком івтегра.:-~а і знахо,111мо

о

ннзначсннй інте1·ра..~

оі;:шосно З'\1і11нсїї 1 :

"J· [а' sіп' t(- аsin 1)- а' cos 1 t ·асо~

"J(

1-

cos

2

\,

"J(i

.

2

\_, .

І= ---

2

cos

2

2

•

,

=а

1

р cos 1 -

а .

- sm

t

!' пп І =

"

а

1 + а

s111

І

u

0

(

cos

31 .

sin

3

1 \

'

4

а, со~t----SІІІІ+----)1

=--а.

\

3

3

),

3

8. Доказати. що вираз ( х2 -

.і) (xdx - уа)·) r

1:ов1шй .1иференціал д<'якоі фуюшіі U(x,_1)

і

знайти її.

Розв'язок.

Запишемо вираз у виr.1Яді P(x.y)dx + Q(x,_1)dy .Д:ІЯ цього розкрисмо :.rужки і

(1тrнмаємо. шо Р(х,у) =:к' - .\)'1 . Q(x,;) = у3 - ух2 .

Вираз Pdx + Qdy бу;1е nоІJним

.

.

копи виконується умова

сР

дQ

.

З

.

. .

;:шф~рсrш~алом тою ,

-;- =--:;--

на.ходи-.ю частини: похщш

с~·

ех

ПР

=-·

2

дQ

2

\'

в·

ираз сповним ди

ф

.

ф

.. , .

)

-

xi· , - =-

х1· . . мова ІJнконvється.

сrенщалом

''\'ІІКШІ L·'(x.1•.

с:~·

.

дх

.

.

.

..

Беремо на п:юшині

ХОУ довільну 1очку М (Xo,J'o) та рухому точку M(X,J) (рис. І 7).

Рівняння ll/1111: Х = Х =cons! ,тоді

dx =О; Уо < У <У .Вираз (а) приймає виг.1яд:

[!(х,у)= f(x-'-xyz}u-+ !f(y'-yx')dy;

~ .

х4

.х2у:

х: х;у~

U(.~. І)=-----------+

.

4

2

4 2

у

х'у'

J

х2 у~

- · ---- · -- + -- =

4

2

4

2

о

Хо

х

Де

r

xi

х~у~ у~

L = -- + ----- ·

Рис.П

4

2

4