Материал: 4783

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Задача № 2. Вычислить указанные определённые интегралы.

2dx

1.1 7 3x 3 .

Пользуясь правилом								f kx b dx										1	F		kx b C ,
Пользуясь правилом								f kx b dx											F		kx b C ,
																		k
табличным интегралом 1) и формулой Ньютона-Лейбница, получаем:
2	dx			2								1		7 3x								2	2					1			2
2				2																		2	2								2
					= 7 3x 3 dx
	7 3x			3	= 7 3x 3 dx							3					2										7 3x			2
1	7 3x			1								3					2							6			7 3x
				1						1													1								1
																							1								1
															1					1				1			1		5
																										1				.
		6 7		3 2		2		6 7 3 1					2							4	2					1				.
		6 7		3 2				6 7 3 1							6 6					4				6			16		32
	4
2.	x cos 2x dx .						Интегрируя по частям, получаем:
	0
					b					b
					b					b
					udv uv				ba vdu


					a					a
					a					a
4 x cos 2x dx =				u x			dv cos 2xdx							=		x		sin 2x								4	1	4 sin 2xdx
4 x cos 2x dx =				u x			dv cos 2xdx							=				sin 2x								4		4 sin 2xdx
0										1					2										0		2	0
0			du dx				v				sin 2x														0			0

										2
										2


	4										1
=	4	sin			2				0			cos 2x
=		sin			2				0			cos 2x
	2					4					4
			1	0			1	1		2 .
				0				1		2 .
	8		4			4					8


4		sin		1	cos		1	cos 0
	8		2	4		2	4
0

															37
	e			3 x dx
3.			ln	3 x dx						.	Пользуясь формулой замены переменной в определённом
3.										.	Пользуясь формулой замены переменной в определённом
	1			x
	1
интеграле и учитывая, что ln1 0															и ln e 1,получаем:
	e											ln x t		1		t4	1


		ln3		x dx					=			dx		= t3dt					1		0	1	.
									=			dx	dt	= t3dt									.
	1			x										0	4		0	4		4		4
				x								x						4		4		4


	12						x
			e4					dx =
4.			e4				3	dx =
	9
3 e4					x	12			3 e4 4 e4 3 3 e0 e1											3 1 e 3 e 1 .
					x	12

					3
						9
						9
	При вычислении интеграла воспользовались 3-им правилом
интегрирования и табличным интегралом 4).

Задача № 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y x2 3x 5;

y x 2.

Найдём абсциссы точек пересечения графиков, заданных функций. Для этого объединим уравнения в систему

y x2 3x 5,y x 2.

Решая полученную систему уравнений, получаем:

x1 3;

x2 1.

Рис.1.

После построения графиков заданных функций получим фигуру (рис.1),

ограниченную прямой y x 2 и параболой y x2 3x 5.

Площадь фигуры, изображённой на рис.1, вычисляется по формуле:

										b
							S f2 (x) f1(x) dx ,
										a
где		f	2		(x) x 2,	f (x) x2		3x 5, следовательно,
			2			1
	1							1							3				1
																			1

S			x 2 x2 3x 5 dx x2 2x 3 dx											x		x2	3x
S			x 2 x2 3x 5 dx x2 2x 3 dx													x2	3x
	3							3					3						3
	3					( 3)3		3											3
		1				( 3)3			2		1							2
				1 3			( 3)			3 ( 3)		2	9 9				9 10			.
				1 3			( 3)			3 ( 3)		2	9 9				9 10			.
		3				3					3							3

Задача № 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

2	2
x		y	1,	x 6.
2		2
3	2

Первое уравнение задаёт гиперболу, а уравнение x 6 задаёт вертикальную прямую. После их построения, получаем фигуру, ограниченную гиперболой и вертикальной прямой.

Рис.2.

Пользуясь формулой для вычисления объёма тела вращения

VOx f 2 (x) dx ,

находим объём тела (рис.2), образованного вращением нашей фигуры вокруг

оси Ox :
	6	4		2			4	x3		6	4	63
	6	4		2			4	x3		6	4	63
VOx	3		x		4	dx			4x				4 6
VOx			x		4	dx			4x				4 6
		9					9	3		3	9	3
										3

		40
	3
4	3	4 3 8 8 16 (куб. ед.)
9	3	4 3 8 8 16 (куб. ед.)
9	3

Задача № 8. Вычислить приближённо определённый интеграл с помощью формулы прямоугольников, формулы трапеций и формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на n частей. Все вычисления производить с точностью до 0,001.

6
	4 9 x2 dx,						n 8.
	2
	Разобьём отрезок интегрирования												[–2;6]					на 8		равных частей с шагом
h	6 ( 2)		1	точками x 2,						x		1,				x		0,		x 1,		x	2,	x 3,
h			1	точками x 2,						x		1,				x		0,		x 1,		x	2,	x 3,
8							0			1					2					3	4			5
8
x6 4,		x7 5,			x8 6 .

		Вычислим					значения		функции							y 4 9 x2					в		этих	точках:

yi y(xi ), i 0;8.							Запишем результаты вычислений в таблицу:

i		0		1				2	3				4					5		6			7	8

xi		-2		-1				0	1				2					3		4			5	6

yi		1,899		1,778				1,732	1,778			1,899					2,060			2,236		2,415		2,590

	Запишем формулы приближённого вычисления интеграла для случая
разбиения отрезка интегрирования на 8 частей.
		Формулы прямоугольников:
								b
								y(x) dx h y0					y1		y2				... y7 ,
								a
								b
								y(x) dx h y1					y2		y3				... y8 .
								a
	Формула трапеций:
						b			y		y
									y		y
						y(x) dx h				0			8	y1			y2 ... y7					.
						y(x) dx h					2			y1			y2 ... y7					.
						a					2
						a

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)