Материал: 4783
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Г. Ф. МОРОЗОВА»
МАТЕМАТИКА
Методические указания к выполнению расчетно-графических работ
для студентов по направлению подготовки
27.03.05 Инноватика
Воронеж 2019
2
УДК 517.9
Веневитина, С.С. Математика [Электронный ресурс] : методические указания к выполнению расчетно-графических работ для студентов по направлению подготовки 27.03.05 Инноватика / С.С. Веневитина, И.В. Сапронов; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2019. – 42 с.
Одобрено решением учебно-методического совета ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» (протокол № _4_ от _31 мая_2019)
Рецензент д-р физ.-мат. наук, профессор Воронежского государственного педагогического университета В.В. Обуховский
Методические указания к выполнению расчетно-графических работ по дисциплине «Математика» предназначены для студентов ФГБОУ ВО «Воронежский государственный лесотехнический университет», обучающихся по направлению подготовки 27.03.05 – Инноватика
Дисциплина «Математика» изучается в течение двух семестров, в каждом из которых необходимо выполнить одну РГР.
Предложены несколько вариантов расчетно-графических работ по каждому из разделов «Дифференциальное исчисление функции одной переменной», «Интегралы и их приложения».
В целях качественного выполнения студентами расчетно-графических работ даны необходимые рекомендации и образцы выполнения этих работ. Они будут особенно полезны при самостоятельном изучении дисциплины «Математика».
Материалы данной учебно-методической разработки по содержанию, форме изложения и объёму соответствуют задачам дисциплины и требованиям стандарта соответствующего направления подготовки.
3
Оглавление
1. РГР № 1 «Дифференциальное исчисление функции одной
переменной»……………………………………………………………………… 4
1.1.Теоретический материал………………………………………………........ 4
1.2.Варианты РГР………………………………………………………………. 7
1.3.Образец решения РГР……………………………………………………… 8
2. РГР № 2 «Интегралы и их приложения»…………………………………. 15
2.1.Теоретический материал………………………………………………........ 15
2.2.Варианты РГР……………………………………………………………….. 17
2.3.Образец решения РГР………………………………………………………. 29
Библиографический список…………………………………………………… 42
4
1. РГР №1 «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»
1.1. Теоретический материал. Правила дифференцирования:
1.(u v) u v ;
2.(u v) u v u v ;
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
C const ; |
|
|||||
(C u) |
C u |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
u |
|
u , |
|
C const ; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
C |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u v u v |
|
|
|
|
|
||||||
5. |
u |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
v |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C v |
|
|
|||
|
C |
|
C (v |
1 |
|
|
C const . |
|||||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
v |
2 |
||||||||||||||
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Производная сложной функции |
|
|
|
|
|
|
Если функция u (x) имеет производную |
u |
в точке x , а |
функция |
|||
|
|
x |
|
|
|
|
y f (u) имеет производную |
y в соответствующей |
точке |
u (x) , то |
|||
|
u |
|
|
|
|
|
сложная функция y f ( (x)) |
имеет производную |
y |
|
в точке |
x , |
которая |
|
|
|
x |
|
|
|
находится по формуле
yx yu ux .
Производные |
|
|
основных |
|
элементарных |
функций |
(таблица |
||||||||||
производных) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. (xn ) n xn 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. (x) 1; |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
; |
1 |
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
( |
x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|||||
3.(a x ) a x ln a ;
4.(ex ) ex ;
5. |
|
|
1 |
; |
|
||||
(log a x) |
x ln a |
|||
|
|
|
|
5
6.(ln x) 1x ;
7.(sin x) cos x ;
8.(cos x) sin x ;
9. |
tgx |
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
cos2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
10. |
ctgx |
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
sin2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||
(arcsin x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
(arccos x) |
|
x2 |
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
13. |
(arctg x) |
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
14. |
(arctg x) |
1 |
|
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
1 x2 |
|
|
|||||||||||||||
Производные высших порядков
|
Производная y |
|
|
|
|
функции |
y f (x) |
есть также функция от |
x и |
|||||||||
|
|
f (x) |
||||||||||||||||
называется производной первого порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Если |
функция |
|
y |
|
|
|
дифференцируема, |
то ее |
производная |
||||||||
|
|
|
f (x) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
( y ) |
( f (x)) называется производной второго порядка и обозначается y |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная от производной второго порядка ( y |
|
|
|
|
называется |
||||||||||||
|
|
) |
( f (x)) |
|
||||||||||||||
производной третьего порядка и обозначается y |
|
или |
f |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(x) . |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Производной |
|
n -го |
|
порядка |
(или n -й поизводной) |
|
называется |
||||||||||
производная от производной |
(n 1) -го порядка: |
y(n) ( y( n 1) ) . |
|
|
|
|
||||||||||||