Материал: 4678

21

Заметим, что дисперсия погрешности наблюдений может быть оценена лишь путем сравнения результатов нескольких параллельных опытов, проводимых в каждой экспериментальной точке.

Адекватность ММ проверяется по F – критерию Фишера. Его расчетное значение находят как частное от деления оценки дисперсии неадекватности на оценку дисперсии единичного наблюдения

(23)

причем

Если это условие не выполняется, их нужно поменять местами.

Критическое значение Fкр находят из таблицы распределения Фишера по числу степеней свободы числителя f=K(N–L), знаменателя f=N(K–1) и уровню значимости q (см. приложение Г). Если Fр>Fкр гипотеза об адекватности отклоняется.

Как правило, вначале проверяют адекватность линейной ММ. Если предположение об адекватности подтверждается, то в качестве окончательной ММ выбирают линейную; если отклоняется – добавляют эффект взаимодействия с наибольшим коэффициентом и вновь проверяют гипотезу, и так до тех пор, пока существуют степени свободы.

Если в результате модель все же оказалась неадекватной, это говорит о том, что тип математической модели выбран неудачно и при данном шумовом уровне и классе точности измерительных приборов ММ должна быть уточнена. Для этого следует использовать более сложные модели, например, квадратичные (ортогональное и рототабельное композиционное планирование).

3.9. Переход к физическим переменным

Для записи ММ в реальных физических величинах производят обратный переход от стандартизированного масштаба к натуральному. Это можно сделать с помощью соотношения (6). После чего записывают окончательный вид модели.

3.10. Пример использования ПФЭ

Требуется исследовать влияние производственных факторов (U – опорное напряжение (x1), I – ток потребления (x2), T – конечная температура нагрева (x3)) на качество производства магнитных дисков. Номинальное значение факторов: U = 30 В, I = 18 А, T = 220 °C.

Поставим ПФЭ при трех сериях опытов в точках: U=(30±2) В, I=(18±1) А, T=(220±20) °С. Для стандартизации масштабов факторов условия проведения опытов сведем в табл. 8.

22

После составления МП эксперимента и проведения рандомизированных опытов сведем полученные результаты в табл. 9, где y – количественный параметр, характеризующий качество обработанной поверхности.

Проведем статистическую обработку полученных результатов. Для проверки по критерию Кохрена (13) воспроизводимости опытов при выбранном уровне значимости q=0,05 вычислим в каждой точке факторного пространства среднее значение (11) и дисперсию (12) исследуемого параметра. Получаемые результаты запишем в табл. 9.

Таблица 8

Рассчитаем оценки коэффициентов регрессионного уравнения (14–16) и проверим их статистическую значимость по критерию Стьюдента (17) при q=0,1. По критерию Фишера (23) проверим адекватность линейной модели при q=0,05. Поскольку линейная модель неадекватна, будем последовательно добавлять в ММ нелинейные взаимодействия с наибольшими коэффициентами регрессии. Для достижения адекватности ММ оказалось достаточным добавить взаимодействие x1x3. Таким образом, после перехода к физическим переменным получаем искомую ММ:

где U – опорное напряжение, В; I – ток потребления, А; T – конечная температура нагрева, °С.

Таблица 9

Порядок выполнения работы.

1.В соответствии с индивидуальным заданием необходимо перейти к стандартизированному масштабу факторов, составить МП ПФЭ и проверить ее свойства, рандомизировать опыты.

2.Провести ПФЭ.

3.Проверить воспроизводимость опытов. Если дисперсии неоднородны, повторить эксперимент.

4.Рассчитать оценки коэффициентов регрессионного уравнения.

5.Проверить статистическую значимость коэффициентов регрессии.

6.Проверить адекватность полученной ММ.

7.Перейти к исходным физическим переменным.

8.Записать полученную ММ и сделать выводы.

Контрольные вопросы:

1.В чем сущность планирования эксперимента? Поясните разницу между активным и пассивным экспериментом.

2.Какие задачи решает теория планирования эксперимента?

3.Что такое факторы оптимизации и какие требования к ним предъявляются?

4.Как выбрать уровни варьирования факторов?

5.Какие требования предъявляются к параметрам оптимизации?

6.В чем сущность ПФЭ и какие ММ он позволяет исследовать?

7.Какую область описывает уравнение регрессии, полученное с помощью ПФЭ и в каких границах его можно использовать?

8.Что такое взаимодействие факторов и сколько их в ПФЭ?

9.В чем сущность и цели стандартизации масштаба факторов?

10.Как составляется и какими свойствами обладает МП ПФЭ? 11.Каков порядок постановки опытов при ПФЭ?

12.Как проверить воспроизводимость опытов?

13.Как рассчитать оценки коэффициентов регрессионного уравнения?

14.Как проверить статистическую значимость оценок коэффициентов регрессии?

15.Как проверить адекватность полученной ММ?

16.Как перейти к исходным физическим переменным?

25

Лабораторная работа №4 ДРОБНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Цель работы: исследование объект с применением дробного факторного эксперимента и получить математическую модель объекта.

Общие сведения

Число опытов ПФЭ 2n быстро растет с увеличением числа факторов n, и при больших n этот вид эксперимента оказывается практически неприемлемым. Для уменьшения числа опытов из множества точек факторного пространства может быть отобрана их некоторая часть, содержащая подходящее число опытов и представляющая собой дробный факторный план.

Дробный факторный эксперимент (ДФЭ), как и ПФЭ, позволяет исследовать полиномиальные ММ вида (2.1). Число оцениваемых параметров ММ и число проводимых в эксперименте опытов связано с понятием насыщенности эксперимента. Если число проводимых опытов превышает число оцениваемых параметров, эксперимент называется ненасыщенным, если равно

– насыщенным, если больше – сверхнасыщенным.

Дробным факторным экспериментом называется система опытов,

представляющая собой часть ПФЭ, позволяющая рассчитать коэффициенты уравнения регрессии и сократить объем экспериментальных данных.

4.1. Составление матрицы планирования ДФЭ

Для построения МП ДФЭ из имеющихся n факторов отбирают (n–p) основных факторов, для которых строят МП ПФЭ. Эту матрицу дополняют затем p столбцами, соответствующими оставшимся факторам. Уровни дополнительных факторов определяют как поэлементное умножение уровней не менее двух и не более (n–p) основных факторов. Говорят, что ДФЭ – это эксперимент типа 2n-p.

Выбранное для дополнительного фактора произведение называется генератором плана (поскольку определяет для дополнительного фактора правило чередования уровней варьирования в МП). Очевидно, что ДФЭ типа 2n- p будет иметь p генераторов.

Например, для ДФЭ типа 23-1 число опытов равно четырем опытам по сравнению с 16 опытами в случае ПФЭ (см. табл. 10). При трех основных факторах ДФЭ содержит 8 опытов, а генераторами для дробных планов могут

служить произведения x1x2, x1x3, x2x3, x1x2x3.

При введении одного дополнительного фактора (ДФЭ типа 24-1) может использоваться любой из четырех возможных генераторов: