Материал: 4678

26

(24)

Таблица 10

Для нахождения математического описания процесса используются определенные части ПФЭ: 1/2, 1/4, 1/8 и т. д.

Эта система опытов называется дробными репликами, а сам метод ДФЭ – методом дробных реплик. Возможные дробные реплики от ПФЭ типа 24 приведены в табл. 11.

Таблица 11

27

4.2. Определение смешанности оценок коэффициентов

Составим матрицу ДФЭ для трех факторов.

Таблица 12

По данному плану мы можем определить коэффициенты регрессии b0, b1, b2, b3. Однако коэффициенты регрессии b1, b2, b3.будут смешаны с парными взаимодействиями.

При значительном числе факторов и опытов определение смешанности по МП является трудоемким. Для нахождения, при каких факторах и взаимодействиях оценки коэффициентов будут смешанными, вводят понятие контраста плана. Контраст получают умножением обеих частей генератора плана вводимого дополнительного фактора xj на этот фактор. Например, поскольку для ДФЭ (табл. 10) генератор плана x3=x1x2, то для контраста получим x32=x1x2x3, т.к. xi2=1, окончательно имеем 1=x1x2x3. Чтобы определить, с какими факторами и взаимодействиями смешана оценка фактора хi, необходимо умножить обе части контраста на это фактор. Например, для х1 имеем: х1=х12х2х3=х2х3, т. е. в1 оценивает одновременно β1 и b23. Записывают это так

(25)

(26)

где βi – действительные значения коэффициентов bi .

В зависимости от числа факторов, входящих в контраст, говорят о разрешающей способности ДФЭ. Так, если для ДФЭ типа 24-1 в качестве генератора плана выбрано х4=x1x2x3 (контраст соответственно будет 1=x1x2x3x4), то говорят, что у такого эксперимента разрешающая способность равна 4; если генератор x1x2=x4 и контраст 1=x1x2x4, то разрешающая способность равна 3; генераторы плана с наибольшей разрешающей способностью называют главными и отдают им предпочтение.

Если вводится не один, а несколько дополнительных факторов, то получаем несколько генераторов плана (для каждого дополнительного фактора свой). В этом случае для определения смешанности оценок используют обобщающий контраст, который строится из отдельных контрастов, а также их произведений во всевозможных сочетаниях. Пусть, например, для ДФЭ 25-2 в

28

качестве генераторов выбраны соотношения x4 = x1x2 и x5 = x1x2x3, контрасты будут соответственно 1 = x1x2x4 и 1 = x1x2x3x5, а обобщающий контраст:

(27)

Для определения смешанности перемножаем все составляющие обобщающего контраста на соответствующие факторы:

для x1: x1= x2x4 = x2x3x5 = x1x3x4x5; для x4 : x4 = x1x2 = x1x2x3x4 = x3x5 .

Тогда для смешанности оценок получим:

(28)

Необходимо отметить, что следствием уменьшения числа опытов по сравнению с ПФЭ является и уменьшение точности оценок, вызванное их смешанностью.

4.3. Порядок постановки ДФЭ

При ДФЭ стандартизация масштабов факторов, порядок постановки опытов, проверка воспроизводимости опытов, расчет оценок коэффициентов регрессионного уравнения и проверка их статистической значимости, проверка адекватности полученной ММ и переход к физическим переменным производится так же, как и при ПФЭ. Однако необходимо учитывать, что для насыщенного и сверхнасыщенного экспериментов невозможна проверка адекватности ММ, так как для нее уже не остается степеней свободы.

4.4. Пример использования ДФЭ

Продолжим рассмотрение примера, приведенного в подразделе 3.10 для ПФЭ. Воспользовавшись информацией, что взаимодействия факторов x1x2 и x1x2x3 оказались статистически незначимыми, исследуем влияние на качество поверхности магнитных дисков дополнительных факторов: скорости нагрева V и изотермической выдержки t, поставив для этой цели ДФЭ типа 25-2. Условия проведения опытов сведем в табл. 13. Факторы x1x2x3 остаются такими же, как в таблице 8.

Для факторов x4 и x5 генераторами плана выберем взаимодействия x1x2 и x1x2x3, тогда контрасты будут соответственно 1 = x1x2x4 и 1 = x1x2x3x5, а

обобщающий контраст 1 = x1x2x4 = x1x2x3x5 = x3x4x5. Найдем смешанность оценок:

29

Таблица 13

После составления МП эксперимента и проведения рандомизированных опытов сведем полученные результаты в табл. 14, после чего проведем статистическую обработку полученных результатов. Для проверки по критерию Кохрена (13) воспроизводимости опытов при выбранном уровне значимости q=0,05 вычислим в каждой точке факторного пространства среднее значение (11) и дисперсию (12) исследуемого параметра. Получаемые результаты также будем заносить в табл. 14.

Рассчитаем оценки коэффициентов регрессионного уравнения (14–16) и проверим их статистическую значимость по критерию Стьюдента (17) при q=0,05. По критерию Фишера (23) проверим адекватность линейной, а затем нелинейной ММ при q=0,05. Поскольку как линейная, так и нелинейная модели оказались неадекватными, делаем вывод о несоответствии выбранной ММ экспериментальным результатам. В дальнейших исследованиях следует использовать более сложные модели, например, квадратичные (ортогональное и рототабельное композиционное планирование).

Таблица 14