Материал: 4643
11
Из соотношения А1 0 ,5 определяем площадь поперечного сечения:
А2
необ . |
|
А1факт. |
|
60 ,5 |
121см |
2 |
|
||||||||||
А2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
0 ,5 |
|
|
0 ,5 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Анеоб . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда анеоб . |
|
|
121 |
7 ,78 см . |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Принимаем а2факт. 7 ,5 см.
Тогда А2факт. 2 7 ,52 112,5 см2 .
5. Вычисляем величины фактических нормальных напряжений во всех характерных участках стержня:
( х1 ) |
N ( x |
1 |
) |
|
1000 кН |
|
1000 102 кгс |
1652 |
кгс |
165 МПа ; |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A1 |
|
|
|
60 ,5см2 |
60 ,5 см |
2 |
см2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( x2 |
) |
N ( x |
2 |
) |
|
200 кН |
|
200 102 кгс |
177 ,8 |
кгс |
|
18 МПа ; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
A2 |
|
|
|
|
112,5 см2 |
|
112,5см2 |
см2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( x3 |
) |
|
N ( x |
3 |
|
) |
|
200 кН |
|
200 102 кгс |
330 ,6 |
кгс |
|
33 МПа ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
A1 |
|
|
|
|
60 ,5 см2 |
|
60 ,5 см2 |
см2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( x4 |
) |
N ( x |
4 |
) |
|
400 кН |
|
400 102 кгс |
661,2 |
|
кгс |
|
66 МПа . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
A1 |
|
|
|
|
60 ,5 см2 |
60 ,5 см2 |
|
|
см2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
По полученным величинам строим эпюры фактических нормальных напряжений (рис. 1.2).
6. Определяем деформацию всего стержня. Она равна алгебраической сумме удлинений всех участков элемента.
l( x ) |
N ( x ) l |
; |
|
E A |
|||
|
|
12
l( x1 ) |
N ( x |
1 |
) c |
|
|
|
1000 102 кгс 1,2 102 см |
|
0 ,099 см; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
E |
|
A1 |
|
|
2 106 кгс / см2 |
60 ,5 см2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
l( x2 |
) |
N ( x |
2 |
) b |
|
|
|
|
200 102 кгс 0 ,8 102 см |
0 ,0071см; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
E |
|
A2 |
|
|
|
2 106 кгс / см2 |
112,5 см2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
l( x3 ) |
N ( x |
3 |
) a |
|
|
|
|
200 102 кгс 1 102 см |
|
0 ,0165 см; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
E |
A1 |
|
|
|
2 106 кгс / см2 |
60 ,5 см2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
l( x4 |
) |
N ( x |
4 |
) a |
|
|
|
|
400 102 кгс 1,2 102 см |
|
0 ,0397 см. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
E |
A1 |
|
|
|
2 106 кгс / см2 |
60 ,5 см2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lфакт. l1 l2 l3 l4 0 ,099 0 ,0071 0 ,0165 0 ,03670 ,115 см.
Длина стержня равна: lполн. 1,2+0,8+1,0+1,0=4,0 м.
Допускаемое удлинение для данного стержня равно:
l |
|
|
pr lполн. |
|
2300кгс / см2 4 10 |
2 см |
0 ,483 см, |
adm |
Е |
2 106 кгс / см2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
lфакт. ladm , 0,115 0,483. Условие выполняется.
1.1.2. Пример 2. Осевое растяжение и сжатие стержня
Для стального стержня:
Е 2 105 МПа 2 106 кгс / см2 ; F1 =1300 кН; F2=1000 кН;F3 = 1800 кН; a = 1,3 м; b = 0,7 м; c = 0,8 м; adm 160 МПа 1600 кгс / см2
требуется:
1)построить эпюру продольных сил - N;
2)подобрать размеры поперечного сечения стержня – d, при A1/A2 = 0,7;
13
2d
d
2 d
Рис. 1.4. Сложное поперечное сечение
3)вычислить нормальные напряжения
-во всех характерных сечениях и постро-
ить эпюру напряжений; 4) вычислить величину абсолютной
деформации каждого участка; 5) определить допускаемое удлинение
стержня - lадм, и сравнить его с полным удлинение - lп .
Решение задачи следует проводить в последовательности, приводимой в примере 1.
1. Соблюдая масштаб, вычерчиваем заданную схему стержня с приложенными нагрузками и проставляем их числовые значения (рис. 1.5).
Изображаем реакцию R в защемлении и определяем ее величину, проектируя все силы, приложенные к стержню, на ось X совпадающую с осью стержня:
FХ = 0; F1 F2 F3 R 0;
R F1 F2 F3 1300 1000 1800 500 кН .
Знак плюс у реакции указывает на то, что направление реакции выбрано правильно.
Для определения значений продольных сил на каждом участке применяем метод сквозного разреза (метод сечений). Для этого в произвольном месте на первом участке проведем сечение перпендикулярно оси стержня и рассмотрим условие равновесия правой части стержня (рис. 1.5).
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
А2 |
|
|
А1 |
|
|
Действие отброшенной час- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1=1300кН |
F2=1000кН |
F3=1800кН |
R=500 кН |
Х |
ти на оставшуюся (рассматривае- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мую) заменяем внутренним сило- |
||
|
а=1,3м |
b=0,7 |
c=0,8м |
а=1,3м |
|
|
вым фактором – продольной силой |
|||
|
X4 |
|
X3 |
X2 |
X1 |
|
|
N(x). |
|
|
|
|
|
2300 |
|
2300 |
|
|
Продольную силу N лучше |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1300 |
|
|
|
|
|
|
всегда изображать растягивающей, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
500 |
|
т.е. направленной по |
нормали от |
|
+ |
|
|
|
|
N, кН |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
рассматриваемого сечения. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
102 |
|
102 |
|
|
Составим |
уравнение |
равновесия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
57 |
|
|
|
|
32 |
|
для каждого участка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
0 |
|
|
|
|
, МПа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N(X1) |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 1.5. Эпюра продольных сил и
нормальных напряжений |
Х1 |
|
1) FХ = 0; |
N х1 R 0; |
N х1 R 500 кН (растяжение). |
|||
|
|
|
A |
2) FХ = 0; |
|
|
|
|
|||
N(X2) |
|
|
|
|
N х2 F3 0; |
|
F3 |
|
R |
||
|
|
|
N х2 F3 R 1800 500 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2300 кН . |
|
|
|
|
|
Растяжение. |
|
X2 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
||
3) FХ = 0;
N х3 F2 F3 R 0; N х3 F2 F3 R
1000 1800 3001300 кН .
15
A1 |
Растяжение. |
N(X3) F2 |
F3 |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X3 |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
a |
|
|
||
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
4) FХ = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
N(X4) |
|
F3 |
|
F2 |
|
F3 |
R |
N х4 F1 F2 F3 R 0; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N х4 F1 F2 F3 R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X4 |
|
|
b |
|
|
|
c |
|
a |
|
1300 1000 1800 500 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 кН .
Строим эпюру продольных сил (рис. 1.5), т. е. график изменения N по длине элемента. Величину продольной силы на всех участках откладываем перпендикулярно оси эпюры с учетом знака и в одном масштабе.
2. Подбор размеров поперечного сечения производится по критерию прочности:
|
max |
|
|
|
N max |
|
|
|
|
adm |
; |
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
AH |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
AH |
|
|
Nmax |
|
|
; |
AH 4d 2 |
Пd 2 |
4d 2 0 ,78d 2 3,22d 2 . |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
adm |
|
|
|
4 |
|
|||||||||
Производим расчет площади поперечного сечения того участка, где действует наибольшая продольная сила - 2300 кН, в данном примере участок с площадью А2 .
d H |
|
|
N |
max |
|
|
|
2300 102 |
кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
44 ,64 6 ,68 см; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
adm 3,22 |
1600 кг / см2 |
3,22 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
dФ 6 ,5 см; |
dФ 7 см; |
|
|
|
|
||||||||