Материал: 4563

7

2.

Вычислить интеграл

x 3 5 x2 dx .

Делаем замену

5 x2 t ,

тогда

2xdx dt и

xdx

1

dt . Следовательно,

2

5 x2 t

1

4

3 5 x2 4

x 3 5 x2 dx =

1

1

3

t

3

1

=

t 3 dt

3

C =

C .

2

2

4

8

xdx 2 dt

3.

Вычислить интеграл

arctg 2 x

dx .

1 x2

Делаем замену

arctgx t ,

тогда

dx

dt .

1 x2

Следовательно,

arctg 2 x

= t2dt

t3

arctg3 x

dx

C

C .

1 x2

3

3

4.

Вычислить интеграл

xsin 5x dx .

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

udv uv vdu .

x sin(5x)dx

u x

dv sin(5x)dx

1

1

cos(5x)dx

du dx

v

1

x cos(5x)

cos(5x)

5

5

5

=

1

x cos(5x)

1

sin(5x) C .

5

25

ln 2x dx =

u ln(2x)

dv dx

xln(2x) x

1

dx xln(2x) x C .

1

du

dx

v x

x

x

5x 3

6. Вычислить интеграл

dx .

3x2

3x 10

8

5

2x 1

11

5x 3

1

5x 3

1

2

2

dx =

dx

dx =

3x2 3x 10

3

x2 x

10

3

x2 x

10

3

3

1

5

2x 1

1 11

dx

dx

3

2

x2 x

10

3

2

1 2

37

3

x

12

2

x

1

5

ln

x2 x

10

11

1

arctg

2

C =

6

3

6

37

37

12

12

1)

5

ln

x2

x

10

11

3

arctg

3(2

x

C.

6

3

3

37

37

(x)

Воспользовались правилом

(x) dx

ln

(x)

C и табличным

интегралом 9).

7.

Вычислить интеграл

7x 15

dx .

x3 2x2

3x

7x 15

A

B

C

.

x3 2x2

x

3x

x

3

x 1

Тогда

7x 15

A

x 3

x 1 Bx

x 1 Cx

x 3

,

x3 2x2 3x

x x 3 x 1

Если

x 0 ,

то

15 3A и

A 5 ;

если

x 3 ,

то

36 12B

и B 3;

9

если x 1,

то

8 4C

и C 2 .

Тогда

7x 15

dx =

x3 2x2 3x

dx

dx

dx

5

3

2

5ln

x

3ln

x 3

2ln

x 1

C .

x

x 3

x 1

1.

2x dx

11.

dx

21.

cos x

dx

sin2 x

1 x2

x2 2x 3

2.

sin 2x cos4 x dx

12.

(x 5) e x dx

22.

sin3 x cos3 x dx

dx