Материал: 4003

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

начальному условию

		u x; 0 f x ,			( 0 x )
и граничным условиям
		u 0; t 0 ,		u ; t 0		( 0 t T ).
Значения a , , T и функция			f x	заданы в табл. 3.
									Таблица 3

	Вариант	a			T			f x

	9	1	2		10			sin 2 x

	10	2	3		10			x(3 x)

							9
							9

	11	1			10			sin x

	12	2			10		sin 2x sin x

	13	1	1		10			x(1 x)

	14	2	4		10			sin x
							2

	15	1	3		10		sin		2	x
	15	1	3		10		sin			x
							3

3. Решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей

3.1. Теоретическая часть

Рассмотрим первую смешанную задачу для уравнения теплопроводности:

найти непрерывную на прямоугольнике 0 x	, 0 t T функцию u(x; t) ,
удовлетворяющую уравнению теплопроводности

	u	a2 2u	(a2	const 0)
	t	x2
при 0 x	, 0 t T , начальному условию
		u x; 0 f x ,		0 x ,
и граничным условиям
		u 0; t t ,		0 t T
		u ; t t ,		0 t T

(10)

(11)

(12)

(13)

где

f x , t , t – заданные функции.

Будем предполагать, что функции

f x ,

t , t непрерывны на

соответствующих отрезках и

f 0 0 ,

f 0 . Эти условия вытекают

из

требования непрерывности функции u(x; t)

на границе прямоугольника

0 x , 0 t T .

Пусть

– фиксированные

натуральные числа. Обозначим

Числа

h ,

называют шагами

по

осям

Ox , Ot соответственно. В

прямоугольнике

0 x

0 t T

построим

сетку, проведя прямые с

уравнениями x i h , t k

( i 0,1, ..., n ; k 0,1, ..., m) (рис.1).

		13
	t
	T
		(i, k+1)
τ	(i-1, k)	(i, k)	(i+1, k)
τ

	x
h

Рис. 1.

Введем обозначения

i h ,

i 0,1, ..., n ;

tk k ,

k 0,1, ..., m;

ui,k

u xi , tk ,

i 0,1, ..., n ;

k 0,1, ..., m.

Будем интересоваться только значениями ui,k

функции

u(x; t) в узлах

xi ; tk сетки, i 0,1, ..., n ; k 0,1, ..., m.

Считая h и

малыми и заменяя в уравнении (10) приближенно частные

производные

каждом

узле

xi ; tk

сетки

(i 0,1, ..., n 1;

k 0,1, ..., m 1) конечными разностями

u(xi ; tk )

ui,k 1 ui,k

2u(xi ; tk )

ui 1,k 2ui,k ui 1,k

получаем

ui,k 1 ui,k

ui 1,k 2ui,k ui 1,k

Отсюда получаем расчетную формулу

2 a2

) .

(14)

i,k 1

i,k

i 1,k

Для каждого узла xi ; tk сетки ( i 0,1, ..., n 1; k 0,1, ..., m 1) формула (14) соответствует набору узлов (шаблону), состоящему из четырех узлов, выделенных на рис. 1. С помощью этой формулы можно, зная значения

функции u(x; t) в узлах с ординатой tk			(эти узлы образуют k -й слой сетки),
вычислить значение функции u(x; t) в любом узле xi ; tk 1					сетки с ординатой
tk 1	(узле k 1 –го слоя) при i 1, 2, ..., n 1.
	Начальное условие (11) позволяет найти значения функции u(x; t)					во всех
узлах xi ; 0 ( i 0,1, ..., n ) сетки:
		ui,0 u xi ; 0 f xi ,		i 0,1, ..., n .
По	формуле	(14) находим значения	функции u(x; t)		в узлах	xi ; t1 ,
i 1, 2, ..., n 1 ,		сетки. Значения искомой функции в крайних узлах 0; t1 , ; t1

находим, пользуясь граничными условиями (12), (13). Переходя последовательно от одного слоя к другому, следующему выше, слою, определим значения искомого решения во всех узлах сетки.

Предлагаемый алгоритм решения задачи применим, если шаги h и выбраны так, что выполняется неравенство

h2 . 2a2

При переходе к формуле (14) значения ui,k для i 1, 2, ..., n 1; k 1, 2, ..., m становятся приближенными значениями соответствующих искомых значений u(xi ; tk ) функции u(x; t) .

В случае, когда

h2 , 2a2

формула (14) имеет особенно удобный для вычислений вид

u	1	(u	u	).	(15)

i,k 1	2	i 1,k	i 1,k

Формула (15) соответствует набору узлов (шаблону), состоящему из трех узлов, выделенных на рис. 2.

	(i, k+1)
(i-1, k)	(i+1, k)

O	x

Рис.2.

3.2. Практическая часть Пример 3.1. Используя метод конечных разностей, составить

приближенное решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности

удовлетворяющее условиям

u x; 0 x

x ,

0 x 1,

u 0; t 0 ,

0 t 0,04 ,

u 1; t

0 t 0,04 .

Решение выполнить при h 0,2 с двумя десятичными знаками.

Решение. Шаг по оси Ot выберем исходя из условия

, поэтому

2a2

(0, 2)2

0,01. При таком выборе

расчеты будем вести по формуле (15).

2 2

Построим прямоугольник, в котором разыскивается решение, покроем его

сеткой, проведя прямые с уравнениями x i h ( i 0,1, 2, 3, 4, 5 ) и	t k
( k 0,1, 2, 3, 4 ), и проведем нумерацию узлов сетки (рис. 3).

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных