Материал: 4003

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	(x) (x) (x),				(x) (x)							1	x ( )d c .
	(x) (x) (x),				(x) (x)							a	x ( )d c .
												a				0
																0
													0
Складывая их и вычитая, получаем
	1		1	x		c0				1				1		x	c0
(x)	1	(x)	1	( )d		c0	,	(x)		1	(x)			1		( )d	c0	.
(x)		(x)		( )d			,	(x)			(x)					( )d		.
2			2a	0	2				2						2a	0	2
				0												0
Таким образом,		мы определили функции x									и		x .			Поэтому решение по
формуле (3) принимает вид
u(x; t) (x at) (x at)								1	x at					1		x at
								1	( )d					1		( )d .
									( )d							( )d .
				2				2a	0					2a		0
									0							0

Меняя местами пределы интегрирования в последнем интеграле, получаем окончательную формулу – формулу Даламбера

	(x at) (x at)	1	x at
u(x; t)			( )d .

	2	2a x at

1.2. Практическая часть

Пример 1.1. Используя удовлетворяющую уравнению

2u 2ut2 x2

и начальным условиям

u(x; 0)	x	,

	1 x2

формулу Даламбера, найти функцию u(x; t) ,

( x , 0 t )

u(x; 0)	sin x	( x ).
t

Решение. Пользуясь формулой Даламбера, получаем

			1	x t				x t				1	x t
u(x; t)													sin d

				1 (x t)		2	1 (x t)			2
		2										2 x t
	1			x t				x t			sin x sin t.

	2				2		(x t)		2
		1 (x t)				1

1.3. Индивидуальные задания
Используя формулу Даламбера, найдите функцию					u(x; t) ,
удовлетворяющую уравнению
2u	a2	2u	( x , 0	t )
t2		x2

и начальным условиям

			7
	u x; 0 x ,		u x; 0		x	( x ).
	u x; 0 x ,		t		x	( x ).
			t
Значение a и функции x , x заданы в табл. 1.
									Таблица 1

	Вариант	a			x				x

	1	2			ex 1				x cos x
	2	1			cos x				x e x
	3	2			x2			x sin 2x
	4	1			x3			x2 sin x
	5	2			3x			1	x cos3x
	5	2			3x		2		x cos3x
							2

	6	1			1				x e 3x

					x2 1
					x2 1

	7	2			e x				x 5x
	8	1			ex2		sin x cos2x
	9	2			x3		cos x cos3x

	10	1			e1 x		sin x sin5x
	11	2			x2 1			ex cos x

	12	1			x ex			ex sin x

	13	2		x2 2x					x2 e x
	14	1			e x3			x2 cos 2x
	15	2			sin x			x cos2x

2. Решение смешанных задач для уравнений колебаний струны и теплопроводности методом разделения переменных

2.1. Теоретическая часть

Смешанная задача для уравнения колебаний конечной струны с закрепленными концами ставится следующим образом.

Требуется найти функцию u(x; t) , удовлетворяющую уравнению

колебаний струны (1) при 0 x

, t 0, начальным условиям

u(x; 0) f x ,

u x; 0

g x

( 0 x )

и граничным условиям

u 0; t 0 ,

; t 0

( t 0 ),

где f x , g x – заданные функции.

Будем предполагать, что

f 0 f 0,

g 0 g 0 .

Методом разделения переменных решение поставленной задачи

находится в виде

u(x; t) (Cn cos

t Dn sin

t) sin

(4)

n 1

где

f (x)sin

x dx

( n 1, 2, ...),

(5)

g(x)sin

x dx

( n 1, 2, ...).

(6)

Рассмотрим первую смешанную задачу для уравнения теплопроводности

u a2

(a2 const 0)

(7)

с однородными граничными условиями.

Требуется найти функцию u(x; t) , удовлетворяющую уравнению (7) при 0 x , 0 t T , начальному условию

u x; 0 f x , ( 0 x )

и граничным условиям

u 0; t 0 ,	u	; t 0	( 0 t T ),
где f x – заданная функция.

Будем предполагать, что функция f x непрерывна на отрезке 0, и

f 0 f 0.

Методом разделения переменных решение последней задачи находится в

виде

an 2

sin n x,

(8)

u(x; t) Cne

n 1

где

f (x)sin

x dx

( n 1, 2, ...).

(9)

2.2. Практическая часть

Пример 2.1. Найти функцию u(x; t) , удовлетворяющую уравнению

(

x , t 0),

начальным условиям

u x; 0 5sin x ,

и граничным условиям

u 0; t 0 ,

u(x; 0)	0 ( 0 x )
t
u ; t 0		( t 0 ).

Решение. Пользуясь формулами (5), (6) при			, a 0,	f x 5sin x ,
g x 0 , находим: C1 5, Cn 0,	n 2, 3, ...;	Dn 0,	n 1, 2, ...
Подставив полученные	значения	в	формулу (4), получаем
u(x; t) 5sin x cos 2t.
Ответ: u(x; t) 5sin x cos 2t.

Пример 2.2. Найти функцию u(x; t) , удовлетворяющую уравнению

u	5	2u	( 0 x 1, 0 t 6),
t	5	x2	( 0 x 1, 0 t 6),
t		x2
начальному условию
u x; 0 sin x				( 0 x 1)
и граничным условиям
u 0; t 0 ,			u 1; t 0		( 0 t 6).

		10
	Решение. Пользуясь формулой (9) при		1,	f x sin x находим:
C1 1,	Cn 0,	n 2, 3, ... Подставив полученные	значения в формулу (8),

получаем u(x; t) e 5 2t sin x.

Ответ: u(x; t) e 5 2t sin x.

2.3. Индивидуальные задания

Задача 2.1. Найдите функцию u(x; t) , удовлетворяющую уравнению

				2u		a2		2u		( 0 x , t			0),
				t2		a2		x2		( 0 x , t			0),
				t2				x2
начальным условиям
		u(x; 0) f x ,							u x; 0		g	x	( 0 x )
		u(x; 0) f x ,									g	x	( 0 x )
										t
и граничным условиям
				u 0; t 0 ,						u ; t 0		( t 0 ).
Значения a , и функции					f x ,			g x заданы в табл. 2.
															Таблица 2

	Вариант		a							f x					g x

	1	2				1				sin x				0

	2	1				1				0					sin 3 x

			3
			3

	3	2								0				sin x 2sin 2x

	4	1								2sin x sin3x				0

	5	2				1				x(1 x)				0

	6	1				2				0					x(2 x)

														4
														4

	7	2				3				sin x				0
										3

	8	1				4				0					sin x
														4
Задача 2.2. Найдите функцию u(x; t) , удовлетворяющую уравнению
				u	a2		2u			( 0 x ,		0 t T ),
				t	a2		x2			( 0 x ,		0 t T ),
				t			x2

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных