Материал: 4003

1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Г. Ф. МОРОЗОВА»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Методические указания к практическим занятиям для студентов

по направлению подготовки 23.04.01 – Технология транспортных процессов

Воронеж 2016

2

УДК 517.958

Веневитина, С.С. Прикладная математика. Уравнения математической физики [Электронный ресурс] : методические указания к практическим занятиям для студентов по направлению подготовки 23.04.01 – Технология транспортных процессов (уровень магистратуры) / С. С. Веневитина, В. В. Зенина; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2016. – 34 с.

Печатается по решению учебно-методического совета ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» (прот)

Рецензент д-р физ.-мат. наук, профессор Воронежского государственного педагогического университета В.В. Обуховский

3

Оглавление

Введение………………………………………………………………………….. 4

1. Решение задачи Коши для уравнения колебаний струны методом Даламбера…………………………………………………………….. 5

1.1.Теоретическая часть…………………………………………………………. 5

1.2.Практическая часть………………………………………………………..... 6

1.3.Индивидуальные задания…………………………………………………… 6

2. Решение смешанных задач для уравнений колебаний струны и теплопроводности методом разделения переменных……………………… 8

2.1.Теоретическая часть………………………………………………………… 8

2.2.Практическая часть………………………………………………………..... 9

2.3.Индивидуальные задания…………………………………………………… 10

3. Решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей…………………………... 12

3.1.Теоретическая часть………………………………………………………… 12

3.2.Практическая часть………………………………………………………..... 15

3.3.Индивидуальные задания…………………………………………………… 17

4. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике методом конечных разностей…………………………………………………. 18

4.1.Теоретическая часть………………………………………………………… 18

4.2.Практическая часть………………………………………………………..... 21

4.3.Индивидуальные задания…………………………………………………… 28

4

Введение

Дисциплина «Прикладная математика» включает в себя такой раздел математики как уравнения математической физики.

В методических указаниях рассмотрены метод Даламбера решения задачи Коши для уравнения колебаний струны, метод разделения переменных решения смешанных задач для уравнений колебаний струны и теплопроводности, метод конечных разностей решения первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности, метод конечных разностей решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике. Изложены необходимые теоретические сведения и разобраны примеры решения задач по каждой теме. Приведены варианты индивидуальных заданий.

Методические указания помогут подготовиться к практическим занятиям студентам, обучающимся по направлению подготовки 23.04.01 – Технология транспортных процессов. Они могут быть полезны также студентам других направлений подготовки.

5

1. Решение задачи Коши для уравнения колебаний струны методом Даламбера

1.1. Теоретическая часть

Задача Коши для уравнения колебаний струны

ставится следующим образом.

Требуется найти функцию u x; t , удовлетворяющую уравнению (1) при x ( , ), t (0, ) и начальным условиям

является решением уравнения (1).

Определим функции и таким образом, чтобы выполнялись условия

(2):

u x; 0 x x x ,

u x; 0 a x a x x .t

Разделим обе части последнего равенства на a и проинтегрируем от 0 до x . Получим

Имеем два равенства