Материал: 3936

21

Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений (прил. 1). Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s(s + 2)(s + 3):

Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

A + B +C =0;5А+3В+2С = 2;

6А=12.

Решая систему уравнений, получим следующие корни:

A = 2;В = −4;С = 2.

Следовательно, дробь можно представить как сумму трех дробей:

Теперь, используя табличные функции, определяется оригинал выходной функции:

y (t)= 2 −4e−2t +2e−3t .

Функция y(t) является решением дифференциального уравнения.

Задача 2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение и оценить устойчивость звеньев по корням характеристических уравнений:

22

Исследование автоматических систем существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления. Например, функционирование некоторой системы описывается ДУ вида

где х и у – входная и выходная величины. Если в данное уравнение вместо x(t) и y(t) подставить функции X(s) и Y(s) комплексного переменного s такие, что

X (s) = ∞∫x(t)e−st dt ,

0

Y (s) = ∞∫y(t)e−st dt .

0

то исходное ДУ при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению

a2 s2 Y(s) + a1 s Y(s) + a0 Y(s) = b1 X(s) + b0 X(s).

Такой переход от ДУ к алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа, формулы соответственно формулами преобразования Лапласа, а полученное уравнение - операторным уравнением.

Новые функции X(s) и Y(s) называются изображениями x(t) и y(t) по Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по отношению к X(s) и Y(s).

Переход от одной модели к другой достаточно прост и заключается в за-

множители 1 , а самих x(t) и y(t) – изображениями X(s) и Y(s).

s

Воспользуемся определением передаточной функции и найдем операторное уравнение:

Для определения преобразования Лапласа от дроби Y (s) необходимо эту

правильную рациональную дробь представить в виде суммы простейших дробей, которые определяются в соответствии с корнями характеристического уравнения и по которым преобразование Лапласа можно взять, используя таблицы преобразования; рассматриваемая дробь имеет три нулевых корня и пару комплексно-сопряженных корней, поэтому она разлагается на простейшие дроби следующим образом:

В результате разложения была получена сумма простейших дробей, коэффициенты которых определяются методом неопределенных коэффициентов, для чего рассматривается равенство двух дробей. Две правильные рациональные дроби равны между собой, если равны их числители и знаменатели. Так как знаменатели равны, то, следовательно, необходимо приравнять друг к другу и числители. Приравняв в числителях коэффициенты при одинаковых степенях параметра s получим систему алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов:

24

A + D = 0;

6A + B + E = 0;13A +6B +C = 0;

13B +6C =3;13C = 7.

Решая систему уравнений, получим следующие корни:

A = − 219773 ; В = −1693 ; С =137 ; D = 219773 ; E = 2197477 .

Таким образом, исходная дробь записывается в следующим виде:

В соответствии с таблицами преобразований Лапласа (прил. 1) оригинал выходной функции имеет вид

y (t )= 267 t2 −1693 t − 219773 + 219773 +e−3t cos 2t + 2197129 e−3t sin 2t .

Задача 4. Определить общую передаточную функцию, структурная схема которой приведена на рис. 2.

Определим предварительно передаточные функции типовых соединений звеньев:

передаточную функцию параллельного соединения звеньев:

W5 (s) =W1 (s) +W2 (s) ;

передаточную функцию последовательного соединения звеньев:

W6 (s) =W5 (s) W2 (s) .с учетом введенных обозначений структурную схему системы можно привести к виду, изображенному на рис. 3.

25

Рис. 2 Структурная схема системы

Рис. 3 Структурная схема эквивалентной системы

Используя структурные преобразования, запишем общую передаточную функцию системы

Подставляя вместо W5 (s) , W6 (s) их значения, получим окончательно

Задача 5. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования (рис. 4):

1)с помощью критерия Рауса-Гурвица;

2)с помощью критерия Михайлова.