Материал: 3936
26
Рис. 4 Структурная схема системы автоматического регулирования
Заданы передаточные функции объекта и регулятора:
W |
|
(s) = |
5 |
; |
W (s) = |
3s +2 |
. |
|
2s |
s3 +2s2 +s +3 |
|||||
|
р |
|
|
об |
|
1) Для исследования устойчивости систем автоматического регулирования с помощью критерия Рауса-Гурвица необходимо знать дифференциальное или характеристическое уравнение системы. Знаменатель передаточной функции всегда представляет собой характеристический полином, поэтому необходимо, прежде всего, записать передаточную функцию замкнутой одноконтурной системы (рис. 9):
W (s) = Wоб (s) Wр (s) . |
|||
зс |
1 |
+Wоб |
(s) Wр (s) |
|
|||
Характеристическое уравнение определяется путем приравнивания к нулю знаменателя передаточной функции замкнутой системы
1+Wоб (s) Wр (s = 0,
с учетом исходных данных передаточных функций объекта и регулятора найдем передаточную функцию замкнутой одноконтурной системы:
|
|
5 |
|
|
3s +2 |
||
W (s) = |
|
2s |
|
s3 +2s2 +s +3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
1+ 5 |
|
3s +2 |
|||||
зс |
|
|
|
|
|||
2s s3 +2s2 +s +3
откуда характеристическое уравнение запишется в следующим виде:
2s4 +4s3 +2s2 +21s +10 = 0.
Задачу будем решать с использованием формулировки критерия устойчивости по Гурвицу. Для этого необходимо из коэффициентов характеристиче-
27
ского уравнения составить главный определитель Гурвица по определенному правилу: вдоль главной диагонали записываются коэффициенты, начиная с an−1 ,
выше главной диагонали записываются коэффициенты с индексом на единицу меньше, ниже главной диагонали записываются коэффициенты с индексом на единицу больше. Порядок определителя соответствует порядку характеристического уравнения. Из этого определителя составляются диагональные миноры, которых должно быть n −1.
Система автоматического управления будет устойчивой тогда и только тогда, когда все диагональные миноры главного определителя будут положительны.
Для нашей задачи главный определитель Гурвица имеет вид
4 |
21 |
0 |
0 |
2 |
2 |
10 |
0 |
0 |
4 |
21 |
0 |
0 |
2 |
2 |
10 |
Вычислим последовательно диагональные миноры:
1 = 4 >0;
2=8 −42 = −34 < 0;
3= 4 (42 −40) −21 42 = −874 < 0;
4 = −874 10 = −8740 < 0.
Все диагональные миноры отрицательны, следовательно, система неустойчива. Следует отметить, что для исследования устойчивости не обязательно вычислять все миноры. Если при вычислении миноров получают, что его значение отрицательно, дальнейшие расчеты можно прекратить и сделать вывод, что система неустойчива.
2) Исследуем систему автоматического управления на устойчивость с использованием частотного критерия устойчивости Михайлова.
В соответствии с этим критерием необходимо построить годограф Михайлова, который для устойчивых систем имеет строго определенный вид. И
28
тогда система автоматического управления будет устойчивой, если годограф Михайлова начинается на положительной вещественной полуоси, обходит последовательно, нигде не обращаясь в нуль, n квадрантов координатной плоскости, уходя в бесконечность в n квадранте, где n – порядок характеристического уравнения.
Для записи математического выражения годографа Михайлова необходимо в характеристическом уравнении перейти в частотную область, т.е. в уравнении 2s4 +4s3 +2s2 +21s +10 = 0 0 сделать замену – s = iω. В результате получим комплексное выражение
2ω4 −4iω3 −2ω2 +21iω +10 = 0 .
Выделим в этом вещественную часть
P(ω) = 2ω4 −2ω2 +10 = 0
и мнимую часть
Q(ω) = 4iω3 +21iω =0 .
Первая называется вещественной функцией Михайлова, а вторая – мнимой функций Михайлова.
По вещественной и мнимой функциям Михайлова строится годограф Михайлова в координатах P(ω) −Q(ω) методом контрольных точек. Для этого за-
дается значение частоты, для которой определяются значения функций
P(ω),Q(ω) .
Q(ω)
P(ω)
Рис. 5 Годограф Михайлова
29
График годографа Михайлова представлен на рис. 5, его анализ показывает, что годограф начинается на вещественной положительной полуоси и располагается только в первом квадранте, что свидетельствует о том, что система неустойчива.
5 Содержание контрольной работы
Контрольная работа выполняется на одной стороне листов качественной, белой, нелинованной бумаги плотностью 60 ... 80 г/м2, формата А4 (210х297 мм) в один столбец с полями: левое – 20, правое – 10, верхнее и нижнее – 20 мм. Расстояние между основаниями строк при рукописном исполнении – 8 мм, число строк на одной странице – 30.
Текст контрольной работы выполняют одним из следующих способов:
–рукописным – с высотой букв и цифр не менее 2,5 мм;
–машинописным (ГОСТ 13.1.002-80). Шрифт пишущей машинки должен бытьчетким, высотойнеменее2,5 мм, лентатолькочерногоцвета(полужирная);
–с применением печатающих и графических устройств вывода ЭВМ
(ГОСТ 2.004-68).
При рукописном исполнении текста разрешается использовать чернила (пасту для шариковых и капиллярных ручек) одного из цветов: черного, фиолетового и синего. При этом в пределах всей ПЗ жирность и толщина линий должна быть одинаковой. Использовать другие цвета, в том числе при оформлении рисунков, таблиц и других иллюстраций, не допускается. Подчеркивание, а также жирное исполнение заголовков, отдельных слов и т.п. в тексте, таблицах
ирисунках, с целью их выделения, не разрешается.
При электронном наборе основного текста необходимо использовать шрифт "Timеs New Roman" размером 14 или шрифт "Arial" размером 12 pt, межстрочный интервал - 8 мм, выравнивание текста - по ширине, отступ в абзаце должен быть одинаковым во всем тексте и равным пяти знакам (14 ... 16 мм). Стиль формул для
30
"Microsoft Eguation": обычный символ – 14, крупный символ - 18, мелкий символ
– 12, крупный индекс – 9, мелкий индекс – 7 pt. Допускается при оформлении рисунков и таблиц использовать более мелкий шрифт 12 pt. Следует, однако, помнить, что высота символов и индексов в тексте должна быть не менее 2,0 при рукописном исполнении и 1,8 мм– при электронном. Смешивание рукописного с машинописным и электронным способами исполнения текста не допускается.
При оформлении контрольной работы не допускаются: надрывы, протертости, смятие и загрязнение листов, неразборчивый почерк, небрежно выполненные рисунки и таблицы, неаккуратные исправления в тексте. Описки (опечатки) и графические неточности, обнаруженные в контрольной работе, допускается исправлять аккуратной подчисткой и нанесением исправлений теми же цветом чернил (пасты), жирности и толщиной линий.
Описания и расчеты должны быть краткими, но полностью раскрывать существо вопроса и сопровождаться ссылками на литературные или другие источники.
Контрольная работа должна начинаться с титульного листа. Затем помещается задание, оглавление – полное содержание по разделам с указанием страниц, введения.
Общая часть объемом до 3 страниц содержит 1 вопрос. Вопрос начинается с указания номера в соответствии с заданием на новом листе.
Часть контрольной работы, связанная с решением задач, содержит разделы по составу индивидуального задания, каждый из разделов начинается с номера и вопроса. Объем этой части контрольной работы до 7 страниц.
Библиографический список содержит перечень использованных литературных источников.